122.单选题(4分) 设 alpha _(1)=( matrix (0 cr 1 cr 0)), alpha _(2)=( matrix (2 cr 1 cr 0)), alpha _(3)=( matrix (-2 cr 1 cr a)),0A. 若 a=1 ，则 a_(1),a_(2),a_(3) 线性相 关B. 若 a=0 ，则 a_(1),a_(2),a_(3) 线性相 关C. 若 a=0 ，则a a_(3) 可由a1,a a_(1),a_(2) _线 性表出,且表示方式不唯一D. 若 a neq 0 ，则， a_(1),a_(2),a_(3) 线性相 关

本题考查向量组线性相关与线性表示的知识。解题的关键思路是通过向量组构成的矩阵的秩来判断向量组的线性相关性，以及根据线性相关性判断向量能否由其他向量线性表示。

向量组线性相关的判定方法

对于向量组$\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$，若存在不全为零的数$k_1,k_2,k_3$，使得$k_1\alpha _{1}+k_2\alpha _{2}+k_3\alpha _{3}=0$，则称向量组$\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$线性相关；否则，称向量组线性无关。也可以通过向量组构成的矩阵$A = (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})$的秩$r(A)$来判断，若$r(A)\lt{}$向量的个数，则向量组线性相关；若$r(A)=$向量的个数，则向量组线性无关。

对各选项的分析

• 选项A：
  当$a = 1$时，向量组构成的矩阵$A = (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})=\begin{pmatrix}0&2& - 2\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$。
  对矩阵$A$进行初等行变换，$r_2$与$r_1$交换得$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2& - 2\\0&0&1\end{pmatrix}$，此矩阵为行阶梯形矩阵，非零行的行数为$3$，即$r(A)=3$，向量的个数也为$3$，所以$\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$线性无关，A选项错误。
• 选项B：
  当$a = 0$时，向量组构成的矩阵$A = (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})=\begin{pmatrix}0&2& - 2\\1&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$。
  此矩阵为行阶梯形矩阵，非零行的行数为$2$，即$r(A)=2\lt{}3$（向量的个数），所以$\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$线性相关，B选项正确。
• 选项C：
  当$a = 0$时，设$\alpha _{3}=k_1\alpha _{1}+k_2\alpha _{2}$，即$\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2k_2\\k_1 + k_2\\0\end{pmatrix}$。
  可得方程组$\begin{cases}2k_2=-2\\k_1 + k_2=1\end{cases}$，解第一个方程$2k_2=-2$得$k_2=-1$，将$k_2=-1$代入第二个方程$k_1 - 1=1$，解得$k_1=2$。
  所以$\alpha _{3}=2\alpha _{1}-\alpha _{2}$，表示方式唯一，C选项错误。
• 选项D：
  当$a\neq 0$时，向量组构成的矩阵$A = (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})=\begin{pmatrix}0&2& - 2\\1&1&1\\0&0&a\end{pmatrix}$。
  因为$a\neq 0$，此矩阵为行阶梯形矩阵，非零行的行数为$3$，即$r(A)=3$，向量的个数也为$3$，所以$\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$线性无关，D选项错误。