某工厂接到一批设备组装订单，需生产基础版和升级版两种设备。已知：基础版设备单件需零件甲2个，零件乙3个，利润为1000元；升级版设备单件需零件甲5个，零件乙4个，利润为1700元。工厂现有库存：零件甲200个，零件乙240个。请问在使得剩余零件最少情况下，总利润为（）元。A. 85200B. 85900C. 86000D. 86600

本题考查线性规划在实际问题中的应用，解题思路是先设出未知数，根据已知条件列出约束条件和目标函数，然后通过分析约束条件确定可行域，在可行域内找出使得剩余零件最少且总利润最大的点。

1. 设未知数：
   设生产基础版设备$x$件，升级版设备$y$件，总利润为$z$元。
2. 列出约束条件：
   • 零件甲的使用数量不能超过库存，即$2x + 5y\leqslant200$。
   • 零件乙的使用数量不能超过库存，即$3x + 4y\leqslant240$。
   • 设备的生产数量不能为负数，所以$x\geqslant0$，$y\geqslant0$，且$x,y\in N$（$N$表示自然数）。
3. 列出目标函数：
   总利润$z = 1000x + 1700y$。
4. 分析约束条件确定可行域：
   • 对于$2x + 5y = 200$，当$x = 0$时，$y = 40$；当$y = 0$时，$x = 100$。
   • 对于$3x + 4y = 240$，当$x = 0$时，$y = 60$；当$y = 0$时，$x = 80$。
   • 联立$\begin{cases}2x + 5y = 200\\3x + 4y = 240\end{cases}$，
     由$2x + 5y = 200$可得$x = 100-\frac{5}{2}y$，将其代入$3x + 4y = 240$中，
     得到$3(100-\frac{5}{2}y)+4y = 240$，
     $300-\frac{15}{2}y + 4y = 240$，
     $-\frac{15}{2}y+4y = 240 - 300$，
     $-\frac{15}{2}y+\frac{8}{2}y=-60$，
     $-\frac{7}{2}y=-60$，
     $y=\frac{120}{7}\approx17.14$，
     则$x = 100-\frac{5}{2}\times\frac{120}{7}=100-\frac{300}{7}=\frac{700 - 300}{7}=\frac{400}{7}\approx57.14$。
5. 在可行域内找最优解：
   因为$x,y$是自然数，我们需要在可行域内的整数点中找使得$z = 1000x + 1700y$最大且剩余零件最少的点。
   通过分析可行域内的整数点，当$x = 50$，$y = 20$时：
   • 零件甲使用数量为$2\times50 + 5\times20=100 + 100 = 200$个，剩余零件甲$200 - 200 = 0$个。
   • 零件乙使用数量为$3\times50 + 4\times20=150 + 80 = 230$个，剩余零件乙$240 - 230 = 10$个。
     此时总利润$z = 1000\times50+1700\times20=50000 + 34000 = 84000$元。
     当$x = 57$，$y = 17$时：
   • 零件甲使用数量为$2\times57+5\times17 = 114 + 85 = 199$个，剩余零件甲$200 - 199 = 1$个。
   • 零件乙使用数量为$3\times57+4\times17 = 171+68 = 239$个，剩余零件乙$240 - 239 = 1$个。
     此时总利润$z = 1000\times57+1700\times17=57000 + 28900 = 85900$元。
     当$x = 58$，$y = 16$时：
   • 零件甲使用数量为$2\times58+5\times16 = 116+80 = 196$个，剩余零件甲$200 - 196 = 4$个。
   • 零件乙使用数量为$3\times58+4\times16 = 174 + 64 = 238$个，剩余零件乙$240 - 238 = 2$个。
     此时总利润$z = 1000\times58+1700\times16=58000+27200 = 85200$元。
     当$x = 59$，$y = 15$时：
   • 零件甲使用数量为$2\times59+5\times15 = 118+75 = 193$个，剩余零件甲$200 - 193 = 7$个。
   • 零件乙使用数量为$3\times59+4\times15 = 177+60 = 237$个，剩余零件乙$240 - 237 = 3$个。
     此时总利润$z = 1000\times59+1700\times15=59000 + 25500 = 84500$元。

比较以上几种情况，当$x = 57$，$y = 17$时，剩余零件最少且总利润最大，总利润为$85900$元。