题目

y=(1+x^2)arctan x 求 (d^2 y)/(dx^2)

$y=(1+x^2)\arctan x$ 求 $\frac{d^2 y}{dx^2}$

题目解答

答案

我们要求函数 $ y = (1 + x^2) \arctan x $ 的二阶导数 $ \frac{d^2 y}{dx^2} $。

第一步：求一阶导数

我们使用乘积法则对函数 $ y = (1 + x^2) \arctan x $ 求导：

设：

  • $ u = 1 + x^2 $
  • $ v = \arctan x $

则：

  • $ u' = 2x $
  • $ v' = \frac{1}{1 + x^2} $

根据乘积法则：
$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 2x \arctan x + (1 + x^2) \cdot \frac{1}{1 + x^2}$

注意：$ (1 + x^2) \cdot \frac{1}{1 + x^2} = 1 $，所以：

$\frac{dy}{dx} = 2x \arctan x + 1$

第二步：求二阶导数

我们现在对一阶导数 $ \frac{dy}{dx} = 2x \arctan x + 1 $ 再次求导。

对 $ 2x \arctan x $ 使用乘积法则：

  • 设 $ u = 2x $，$ v = \arctan x $
  • $ u' = 2 $，$ v' = \frac{1}{1 + x^2} $

所以：
$\frac{d}{dx}(2x \arctan x) = 2 \arctan x + 2x \cdot \frac{1}{1 + x^2}$

对常数 $ 1 $ 求导为 0。

所以二阶导数为：
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \arctan x + \frac{2x}{1 + x^2}$

最终答案：

$\boxed{\frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \arctan x + \frac{2x}{1 + x^2}}$

解析

本题考查函数的二阶导数的求法，解题思路是先根据乘积法则求出函数的一阶导数，再对一阶导数求导得到二阶导数。

  1. 求一阶导数：
    已知函数$y=(1 + x^2)\arctan x$，设$u = 1 + x^2$，$v = \arctan x$。
    • 对$u$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$u^\prime=(1 + x^2)^\prime=(1)^\prime+(x^2)^\prime=0 + 2x = 2x$。
    • 对$v$求导，根据求导公式$(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^2}$，可得$v^\prime=\frac{1}{1 + x^2}$。
    • 根据乘积法则$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，可得：
      $\frac{dy}{dx}=u^\prime v + uv^\prime=2x\arctan x+(1 + x^2)\cdot\frac{1}{1 + x^2}$
      因为$(1 + x^2)\cdot\frac{1}{1 + x^2}=1$，所以$\frac{dy}{dx}=2x\arctan x + 1$。
  2. 求二阶导数：
    对一阶导数$\frac{dy}{dx}=2x\arctan x + 1$再次求导。
    • 对于$2x\arctan x$，设$u = 2x$，$v = \arctan x$。
      • 对$u$求导，$u^\prime=(2x)^\prime=2$。
      • 对$v$求导，$v^\prime=\frac{1}{1 + x^2}$。
      • 根据乘积法则$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，可得：
        $\frac{d}{dx}(2x\arctan x)=2\arctan x+2x\cdot\frac{1}{1 + x^2}$
    • 对于常数$1$，根据求导公式$(C)^\prime=0$（$C$为常数），可得$(1)^\prime=0$。
    • 所以二阶导数为：
      $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(2x\arctan x)+\frac{d}{dx}(1)=2\arctan x+\frac{2x}{1 + x^2}+0=2\arctan x+\frac{2x}{1 + x^2}$