已知displaystyle f(x)=e^-x^2，则displaystyle f(x)在(1,+infty)上是（ ）。A. 单增,凸的B. 单减,凹的C. 单增,凹的D. 单减,凸的

本题考查函数的单调性与凹凸性，解题思路是先对函数求一阶导数，根据一阶导数的正负判断函数的单调性，再求二阶导数，根据二阶导数的正负判断函数的凹凸性。

1. 求函数$f(x)$的一阶导数$f^\prime(x)$

已知$f(x)=e^{-x^2}$，根据复合函数求导法则$(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime$，令$u = -x^2$，则$u^\prime = -2x$。
所以$f^\prime(x)=(e^{-x^2})^\prime=e^{-x^2}\cdot(-2x)= -2xe^{-x^2}$。

2. 判断函数$f(x)$在$(1, +\infty)$上的单调性

当$x\in(1, +\infty)$时，$x\gt 0$，$e^{-x^2}\gt 0$，则$f^\prime(x)= -2xe^{-x^2}\lt 0$。
根据导数与函数单调性的关系：当函数的一阶导数小于$0$时，函数单调递减。
所以$f(x)$在$(1, +\infty)$上单调递减。

3. 求函数$f(x)$的二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$

对$f^\prime(x)= -2xe^{-x^2}$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，令$u = -2x$，$v = e^{-x^2}$。
则$u^\prime = -2$，$v^\prime = e^{-x^2}\cdot(-2x)$。
所以$f^{\prime\prime}(x)=(-2x)^\prime e^{-x^2}+(-2x)(e^{-x^2})^\prime=-2e^{-x^2}+(-2x)\cdot(-2xe^{-x^2})=-2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}=(4x^2 - 2)e^{-x^2}$。

4. 判断函数$f(x)$在$(1, +\infty)$上的凹凸性

当$x\in(1, +\infty)$时，$x^2\gt 1$，则$4x^2 - 2\gt 4\times1 - 2 = 2\gt 0$，$e^{-x^2}\gt 0$，所以$f^{\prime\prime}(x)=(4x^2 - 2)e^{-x^2}\gt 0$。
根据导数与函数凹凸性的关系：当函数的二阶导数大于$0$时，函数是凹的。
所以$f(x)$在$(1, +\infty)$上是凹的。

综上，$f(x)$在$(1, +\infty)$上是单减，凹的。