例2 解不等式 |3x-1|leqslant 2.

考查要点：本题主要考查绝对值不等式的解法，需要将绝对值不等式转化为双重不等式进行求解。

解题核心思路：利用绝对值不等式的基本性质，将$|3x-1|\leqslant 2$转化为$-2 \leqslant 3x-1 \leqslant 2$，再通过逐步变形解出$x$的范围。

破题关键点：

1. 正确转化绝对值不等式为双重不等式；
2. 分步解双重不等式，注意运算过程中保持不等号方向不变。

步骤1：转化绝对值不等式
根据绝对值不等式性质，$|A| \leqslant a$（$a > 0$）等价于$-a \leqslant A \leqslant a$。
因此，原式$|3x-1|\leqslant 2$可转化为：
$-2 \leqslant 3x-1 \leqslant 2.$

步骤2：解双重不等式

1. 解左半部分：$-2 \leqslant 3x-1$
   两边加1：
   $-2 + 1 \leqslant 3x \implies -1 \leqslant 3x.$
   两边除以3：
   $-\dfrac{1}{3} \leqslant x.$

2. 解右半部分：$3x-1 \leqslant 2$
   两边加1：
   $3x \leqslant 3.$
   两边除以3：
   $x \leqslant 1.$

步骤3：综合结果
将两部分结果合并，得到解集：
$-\dfrac{1}{3} \leqslant x \leqslant 1.$