题目 求微分方程xy′+y=xe x满足y（1）=1的特解．

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法，重点在于识别方程结构并应用积分因子法求解，同时结合初始条件确定特解。

解题核心思路：

1. 方程标准化：将原方程整理为标准形式$y' + P(x)y = Q(x)$，便于应用积分因子法。
2. 积分因子计算：通过计算$\mu(x) = \exp\left(\int P(x) \, dx\right)$，将方程转化为全微分形式。
3. 积分求解：对变形后的方程两边积分，得到通解。
4. 初始条件代入：利用$y(1)=1$确定常数，得到特解。

破题关键点：

• 识别方程类型：原方程可整理为一阶线性微分方程。
• 正确应用分部积分：求解$\int x e^x \, dx$时需使用分部积分法。

步骤1：方程标准化
原方程$xy' + y = x e^x$两边除以$x$，得：
$y' + \frac{1}{x} y = e^x$

步骤2：计算积分因子
积分因子为：
$\mu(x) = \exp\left(\int \frac{1}{x} \, dx\right) = \exp(\ln |x|) = x$

步骤3：方程变形与积分
方程两边乘以$\mu(x)$：
$x y' + y = x e^x \quad \Rightarrow \quad (x y)' = x e^x$
两边积分：
$x y = \int x e^x \, dx$
使用分部积分法：
$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C$
因此：
$x y = x e^x - e^x + C$

步骤4：代入初始条件
当$x=1$时，$y=1$：
$1 \cdot 1 = 1 \cdot e^1 - e^1 + C \quad \Rightarrow \quad C = 1$

步骤5：写出特解
将$C=1$代入通解：
$x y = (x - 1) e^x + 1$