下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期:(1)y=cos(x−2);(2)y=cos 4x;(3)y=1+sin πx;(4)y=x cos x;(5)y=sin2 x.

周期函数的判断核心在于是否存在正数$T$，使得$f(x + T) = f(x)$对所有$x$成立。对于基本三角函数，如$\cos(kx)$或$\sin(kx)$，周期为$\frac{2\pi}{|k|}$。若函数为周期函数的变形（如平移、叠加常数），周期不变；若涉及非周期函数与周期函数的组合（如乘积），需分析整体是否保持周期性。

第（1）题

函数$y = \cos(x - 2)$是$\cos x$的水平平移，平移不改变周期，因此周期仍为$2\pi$。

第（2）题

函数$y = \cos 4x$中，$k = 4$，周期为$\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。但题目答案给出周期为$2\pi$，此处答案有误，正确周期应为$\frac{\pi}{2}$。

第（3）题

函数$y = 1 + \sin \pi x$中，$\sin \pi x$的周期为$\frac{2\pi}{\pi} = 2$，叠加常数不改变周期，因此周期为$2$。

第（4）题

函数$y = x \cos x$是$x$（非周期函数）与$\cos x$（周期函数）的乘积。乘积后振幅随$x$增大而无限增长，无法满足周期性，因此不是周期函数。

第（5）题

函数$y = \sin^2 x$可化简为$y = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，其中$\cos 2x$的周期为$\pi$，平方后周期减半，因此周期为$\pi$。