题目

5.已知连续型随机变量ξ的概率密度为p(x)={}Ax+B,1le xle 30,.且知ξ在区间(2,3)内取值的概率是在区间(1,2)内取值的概率的二倍，试确定常数A,B.

5.已知连续型随机变量ξ的概率密度为$p(x)=\left\{\begin{matrix}Ax+B,1\le x\le 3\\0,\end{matrix}\right.$且知ξ在区间(2,3)内取值的概率是在区间(1,2)内取值的概率的二倍，试确定常数A,B.

题目解答

答案

为了确定常数 $A$ 和 $B$，我们需要使用给定的条件和概率密度函数的性质。概率密度函数 $p(x)$ 定义为： \[ p(x) = \begin{cases} Ax + B & \text{如果 } 1 \le x \le 3 \\ 0 & \text{其他情况} \end{cases} \] 首先，我们知道在区间 $(2,3)$ 内取值的概率是在区间 $(1,2)$ 内取值的概率的二倍。这可以表示为： \[ \int_{2}^{3} p(x) \, dx = 2 \int_{1}^{2} p(x) \, dx \] 将 $p(x) = Ax + B$ 代入积分，我们得到： \[ \int_{2}^{3} (Ax + B) \, dx = \left[ \frac{A}{2} x^2 + Bx \right]_{2}^{3} = \left( \frac{9A}{2} + 3B \right) - \left( \frac{4A}{2} + 2B \right) = \frac{5A}{2} + B \] 同样地， \[ \int_{1}^{2} (Ax + B) \, dx = \left[ \frac{A}{2} x^2 + Bx \right]_{1}^{2} = \left( \frac{4A}{2} + 2B \right) - \left( \frac{A}{2} + B \right) = \frac{3A}{2} + B \] 根据给定的条件，我们有： \[ \frac{5A}{2} + B = 2 \left( \frac{3A}{2} + B \right) \] 简化右边，我们得到： \[ \frac{5A}{2} + B = 3A + 2B \] 重新排列项，我们得到： \[ \frac{5A}{2} - 3A = 2B - B \] \[ \frac{5A}{2} - \frac{6A}{2} = B \] \[ -\frac{A}{2} = B \] \[ B = -\frac{A}{2} \] 接下来，我们使用概率密度函数在所有 $x$ 上的积分必须等于1的性质： \[ \int_{1}^{3} p(x) \, dx = 1 \] 将 $p(x) = Ax + B$ 代入积分，我们得到： \[ \int_{1}^{3} (Ax + B) \, dx = \left[ \frac{A}{2} x^2 + Bx \right]_{1}^{3} = \left( \frac{9A}{2} + 3B \right) - \left( \frac{A}{2} + B \right) = \frac{8A}{2} + 2B = 4A + 2B \] 将 $B = -\frac{A}{2}$ 代入方程，我们得到： \[ 4A + 2 \left( -\frac{A}{2} \right) = 4A - A = 3A \] 因此，我们有： \[ 3A = 1 \] \[ A = \frac{1}{3} \] 将 $A = \frac{1}{3}$ 代回 $B = -\frac{A}{2}$，我们得到： \[ B = -\frac{1}{6} \] 因此，常数 $A$ 和 $B$ 是： \[ \boxed{A = \frac{1}{3}, B = -\frac{1}{6}} \]

解析

考查要点：本题主要考查连续型随机变量概率密度函数的性质，包括归一化条件（积分等于1）和概率区间关系的应用。

解题核心思路：

  1. 利用概率关系建立方程：根据题目中给出的区间概率倍数关系，分别计算两个区间的积分并建立等式。
  2. 应用归一化条件：概率密度函数在整个定义域上的积分等于1，由此得到第二个方程。
  3. 联立方程求解：通过两个方程联立解出未知常数$A$和$B$。

破题关键点：

  • 正确计算积分：注意积分上下限的代入和代数运算的准确性。
  • 代数变形：将概率关系转化为方程时，需仔细处理系数和符号。

步骤1：根据概率关系建立方程

题目给出$\xi$在$(2,3)$的概率是$(1,2)$概率的两倍，即：
$\int_{2}^{3} (Ax+B) \, dx = 2 \int_{1}^{2} (Ax+B) \, dx$

计算积分：

  • 区间$(2,3)$：
    $\int_{2}^{3} (Ax+B) \, dx = \left[ \frac{A}{2}x^2 + Bx \right]_{2}^{3} = \left( \frac{9A}{2} + 3B \right) - \left( \frac{4A}{2} + 2B \right) = \frac{5A}{2} + B$

  • 区间$(1,2)$：
    $\int_{1}^{2} (Ax+B) \, dx = \left[ \frac{A}{2}x^2 + Bx \right]_{1}^{2} = \left( \frac{4A}{2} + 2B \right) - \left( \frac{A}{2} + B \right) = \frac{3A}{2} + B$

建立方程：
$\frac{5A}{2} + B = 2 \left( \frac{3A}{2} + B \right)$
化简得：
$\frac{5A}{2} + B = 3A + 2B \quad \Rightarrow \quad -\frac{A}{2} = B$

步骤2：应用归一化条件

概率密度函数在$[1,3]$上的积分等于1：
$\int_{1}^{3} (Ax+B) \, dx = 1$

计算积分：
$\int_{1}^{3} (Ax+B) \, dx = \left[ \frac{A}{2}x^2 + Bx \right]_{1}^{3} = \left( \frac{9A}{2} + 3B \right) - \left( \frac{A}{2} + B \right) = 4A + 2B$

代入归一化条件：
$4A + 2B = 1$

步骤3：联立方程求解

将$B = -\frac{A}{2}$代入$4A + 2B = 1$：
$4A + 2\left(-\frac{A}{2}\right) = 1 \quad \Rightarrow \quad 4A - A = 1 \quad \Rightarrow \quad 3A = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \frac{1}{3}$
进一步得：
$B = -\frac{1}{6}$