3.1 沿下列路径计算积分 (int )_(0)^3+1(z)^2dz:-|||-(1)自原点至 +1 的直线段;-|||-(2)自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至 +i.

本题考查复变函数沿不同路径的积分计算，核心在于理解路径无关性的条件。被积函数为 $z^2$，其在复平面内解析，因此根据柯西积分定理，在单连通区域内积分与路径无关。两种路径均位于单连通区域，故结果相同。

第（1）题：沿直线段自原点至 $3+i$

参数方程设定

设直线段为 $z(t) = t(3+i)$，其中 $t \in [0,1]$，则 $dz = (3+i)dt$。

积分计算

原积分转化为：
$\int_{0}^{1} [z(t)]^2 \cdot \frac{dz}{dt} dt = \int_{0}^{1} [t(3+i)]^2 \cdot (3+i) dt = (3+i)^3 \int_{0}^{1} t^2 dt.$
计算得：
$(3+i)^3 \cdot \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = \frac{(3+i)^3}{3}.$

第（2）题：沿实轴至 $3$ 再铅直向上至 $3+i$

第一段：沿实轴从 $0$ 至 $3$

设 $z_1(t) = t$，$dz_1 = dt$，积分：
$\int_{0}^{3} t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^3 = \frac{3^3}{3} = 9.$

第二段：铅直向上从 $3$ 至 $3+i$

设 $z_2(t) = 3 + it$，$dz_2 = i dt$，积分：
$\int_{0}^{1} (3+it)^2 \cdot i dt = i \int_{0}^{1} (9 + 6it - t^2) dt.$
展开并逐项积分：
$i \left[ 9t + 3it^2 - \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = i \left( 9 + 3i - \frac{1}{3} \right) = \frac{(3+i)^3 - 3^3}{3}.$

合并两段结果

总积分值为：
$9 + \frac{(3+i)^3 - 27}{3} = \frac{(3+i)^3}{3}.$