题目

13. (6.0分) 求曲线y=(1)/(x)与直线y=x，x=2以及x轴所围成的图形的面积.

13. (6.0分) 求曲线$y=\frac{1}{x}$与直线y=x，x=2以及x轴所围成的图形的面积.

题目解答

答案

1. **确定交点**： 曲线 $ y = \frac{1}{x} $ 与直线 $ y = x $ 交于点 $ (1, 1) $。 直线 $ y = x $ 与 $ x = 2 $ 交于点 $ (2, 2) $。 曲线 $ y = \frac{1}{x} $ 与 $ x = 2 $ 交于点 $ (2, \frac{1}{2}) $。 2. **计算面积**： 所求面积为从 $ x = 1 $ 到 $ x = 2 $ 的直线 $ y = x $ 与曲线 $ y = \frac{1}{x} $ 之间的面积。 \[ \int_{1}^{2} \left( x - \frac{1}{x} \right) \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 - \ln x \right]_{1}^{2} = \left( 2 - \ln 2 \right) - \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{3}{2} - \ln 2 \] **答案**： $\boxed{\frac{3}{2} - \ln 2}$

解析

本题主要考察利用定积分求曲边梯形的面积，关键在于确定积分区间和被积函数。

步骤1：确定图形的边界与交点

需明确曲线$y=\frac{1}{x}$、直线$y=x$、$x=2$及$x$轴所围成的区域：

  • 交点计算：

    • $y=\frac{1}{x}$与$y=x$联立：$\frac{1}{x}=x\Rightarrow x=1$（$x>0$），得交点$(1,1)$；
    • $y=x$与$x=2$交于$(2,2)$；
    • $y=\frac{1}{x}$与$x=2$交于$(2,\frac{1}{2})$。

  • 区域范围：在$x\in[1,2]$上，直线$y=x$在曲线$y=\frac{1}{x}$上方，且两曲线均在$x$轴上方，故所求面积为该区间内两曲线之间的面积。

步骤2：利用定积分计算面积

面积公式为积分区间$[1,2]$上“上方函数-下方函数”的定积分：
$\text{面积}=\int_{1}^{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)dx$

  • 积分计算：
    原函数为$F(x)=\frac{1}{2}x^2-\ln x$，代入上下限：
    $F(2)-F(1)=\left(\frac{1}{2}\times2^2-\ln2\right)-\left(\frac{1}{2}\times1^2-\ln1\right)=\left(2-\ln2\right)-\left(\frac{1}{2}-0\right)=\frac{3}{2}-\ln2$