题目
19.（简答题，10.0分）设V_(1)=()a&b0&0的子空间，证明：V_(1)cap V_(2)=()a&00&0.
19.（简答题，10.0分）
设$V_{1}=\left\{\left(\begin{matrix}a&b\\0&0\end{matrix}\mid a,b\in P\right\}$,$V_{2}=\left\{\left(\begin{matrix}d&0\\c&0\end{matrix}\mid c,d\in P\right\}$都是$P^{2\times 2}$的子空间，证明：
$V_{1}\cap V_{2}=\left\{\left(\begin{matrix}a&0\\0&0\end{matrix}\mid a\in P\right\}$,$V_{1}+V_{2}=\left\{\left(\begin{matrix}a&b\\c&0\end{matrix}\mid a,b,c\in P\right\}$.
题目解答
答案
为了证明给定的子空间 $ V_1 $ 和 $ V_2 $ 的交集和和，我们将分别处理每个部分。
### 第一部分：证明 $ V_1 \cap V_2 = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid a \in P \right\} $
1. **定义子空间：**
\[
V_1 = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid a, b \in P \right\}
\]
\[
V_2 = \left\{ \begin{pmatrix} d & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \mid c, d \in P \right\}
\]
2. **找到交集 $ V_1 \cap V_2 $:**
一个矩阵 $ M $ 属于 $ V_1 \cap V_2 $ 当且仅当它同时属于 $ V_1 $ 和 $ V_2 $。因此，$ M $ 必须是以下形式：
\[
M = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{(从 $ V_1 $)}
\]
和
\[
M = \begin{pmatrix} d & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \quad \text{(从 $ V_2 $)}
\]
3. **将两个形式等同：**
\[
\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}
\]
4. **比较对应元素：**
\[
a = d, \quad b = 0, \quad 0 = c, \quad 0 = 0
\]
5. **解方程：**
\[
b = 0, \quad c = 0, \quad a = d
\]
6. **将解代回矩阵：**
\[
M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
7. **结论：**
\[
V_1 \cap V_2 = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid a \in P \right\}
\]
### 第二部分：证明 $ V_1 + V_2 = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} \mid a, b, c \in P \right\} $
1. **定义子空间的和：**
两个子空间 $ V_1 $ 和 $ V_2 $ 的和是所有 $ V_1 $ 中的矩阵和 $ V_2 $ 中的矩阵之和的集合：
\[
V_1 + V_2 = \left\{ M_1 + M_2 \mid M_1 \in V_1, M_2 \in V_2 \right\}
\]
2. **取 $ V_1 $ 和 $ V_2 $ 中的一般矩阵：**
\[
M_1 = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{(从 $ V_1 $)}
\]
\[
M_2 = \begin{pmatrix} d & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \quad \text{(从 $ V_2 $)}
\]
3. **将矩阵相加：**
\[
M_1 + M_2 = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} d & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + d & b \\ c & 0 \end{pmatrix}
\]
4. **识别和的元素：**
设 $ a' = a + d $, $ b' = b $, 和 $ c' = c $。由于 $ a, b, c, d \in P $, $ a', b', c' \in P $.
5. **将和表示为新变量：**
\[
M_1 + M_2 = \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & 0 \end{pmatrix}
\]
6. **结论：**
\[
V_1 + V_2 = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} \mid a, b, c \in P \right\}
\]
因此，最终答案是：
\[
\boxed{V_1 \cap V_2 = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid a \in P \right\}, \quad V_1 + V_2 = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} \mid a, b, c \in P \right\}}
\]