题目

设常数k>0,函数(x)=ln x-dfrac (x)(e)+k 在 (0,+infty ) 内的零点个数为

设常数k>0,函数

题目解答

答案

要求函数f(x)在区间(0, +∞)内的零点个数，可以分析函数f(x)的性质。

我们可以求函数f(x)的导数来研究其变化情况：

令f'(x)=0，我们可以解得：

x = e

可以看出，在x=e处，函数f(x)的导数f'(x)发生了变号，即从负数变为正数。根据导数的性质，可以得到以下结论：

1. 当x<e时，f'(x) >0；

2. 当x>e时，f'(x) < 0。

这说明在区间(0, e)内，函数f(x)是单调递减的；而在区间(e, +∞)内，函数f(x)是单调递增的。

再进一步观察函数f(x)在x=e处的取值，我们有：

f(e) = k

这说明在x=e处，函数f(x)的值等于k>0。当x趋近于0时，f(x)<0；当x趋近于正无穷时，f(x)<0。则

根据以上分析，可以得到以下结论：

因此，当常数k>0时，在(0, +∞)内的零点个数为2个。

解析

考查要点：本题主要考查利用导数分析函数的单调性、极值，进而确定函数零点个数的能力。

解题核心思路：

  1. 求导分析单调性：通过求导找到函数的极值点，确定函数在不同区间的单调性。
  2. 极值点的函数值：计算极值点处的函数值，结合函数在定义域两端的趋势，判断函数图像与x轴的交点个数。

破题关键点：

  • 导数为零的点：解方程$f'(x)=0$得到$x=e$，这是函数的极值点。
  • 极值点的函数值：$f(e)=k>0$，说明极值点处函数值为正。
  • 函数趋势分析：当$x \to 0^+$和$x \to +\infty$时，$f(x) \to -\infty$，结合极值点的正函数值，可确定零点个数。

  1. 求导数
    函数$f(x)=\ln x - \dfrac{x}{e} + k$的导数为：
    $f'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{e}.$

  2. 求极值点
    令$f'(x)=0$，解得：
    $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{e} \implies x = e.$
    因此，函数在$x=e$处可能取得极值。

  3. 分析单调性

    • 当$x < e$时，$\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{e}$，即$f'(x) > 0$，函数在$(0, e)$上单调递增。
    • 当$x > e$时，$\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{e}$，即$f'(x) < 0$，函数在$(e, +\infty)$上单调递减。
    • 综上，$x=e$是函数的极大值点。

  4. 计算极值点的函数值
    $f(e) = \ln e - \dfrac{e}{e} + k = 1 - 1 + k = k.$
    由于$k > 0$，故$f(e) > 0$。

  5. 分析函数趋势

    • 当$x \to 0^+$时，$\ln x \to -\infty$，而$-\dfrac{x}{e} \to 0$，因此$f(x) \to -\infty$。
    • 当$x \to +\infty$时，$\ln x$增长缓慢，而$-\dfrac{x}{e}$主导趋向$-\infty$，因此$f(x) \to -\infty$。

  6. 确定零点个数

    • 在$(0, e)$区间内，函数从$-\infty$递增到$f(e)=k>0$，必存在一个零点。
    • 在$(e, +\infty)$区间内，函数从$f(e)=k>0$递减到$-\infty$，必存在一个零点。
    • 因此，函数在$(0, +\infty)$内共有2个零点。