设A,B为随机事件，则A,B的充分必要条件是（ ）A、A,BB、A,BC、A,BD、A,B

考查要点：本题主要考查概率论中事件概率相等的充要条件，涉及事件运算与概率性质的理解。

解题核心思路：
需要找到选项中与$P(A)=P(B)$等价的等式，即该等式成立当且仅当$P(A)=P(B)$。关键在于通过事件运算展开各选项，推导出与$P(A)$和$P(B)$的关系。

破题关键点：

• 选项C通过分解事件$A\overline{B}$和$B\overline{A}$的概率，直接导出$P(A)=P(B)$，且反之亦然，因此是充要条件。
• 其他选项（如独立性、互斥性等）与$P(A)=P(B)$无必然联系。

选项分析

选项C：$P(A\overline{B})=P(B\overline{A})$

1. 分解事件概率：

   • $P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$（$A$发生但$B$不发生的概率）
   • $P(B\overline{A}) = P(B) - P(AB)$（$B$发生但$A$不发生的概率）

2. 等式变形：
   根据题意，$P(A\overline{B}) = P(B\overline{A})$，代入得：
   $P(A) - P(AB) = P(B) - P(AB)$
   消去$P(AB)$后，直接得到：
   $P(A) = P(B)$

3. 等价性验证：

   • 若$P(A)=P(B)$，则$P(A\overline{B})=P(B\overline{A})$必然成立。
   • 反之，若$P(A\overline{B})=P(B\overline{A})$，则必有$P(A)=P(B)$。
     因此，选项C是$P(A)=P(B)$的充分必要条件。

其他选项分析

• 选项A：$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
  仅当$A$与$B$互斥时成立，与$P(A)=P(B)$无关。
• 选项B：$P(AB) = P(A)P(B)$
  表示$A$与$B$独立，独立性与概率相等无必然联系。
• 选项D：$P(AB) = P(\overline{A}B)$
  仅说明在$B$发生时，$A$与$\overline{A}$概率相等，与$P(A)=P(B)$无直接关系。