对消费者的一项调查表明,17%的人早餐饮料是牛奶。某城市的牛奶生产商认为,该城市的人早餐饮用牛奶的比例更高。为验证这一说法,生产商随机抽取550人的一个随机样本,其中115人早餐 饮用牛奶。在α=0.05的显著性水平下,检验该生产商的说法是否属实?(注:z统计量值为1.96)

本题考查总体比例的假设检验。解题思路如下：

1. 提出原假设和备择假设：
   • 原假设 $H_0$ 通常是研究者想要推翻的假设，这里生产商认为该城市人早餐饮用牛奶的比例更高，所以原假设 $H_0:\pi = 0.17$（即该城市早餐饮用牛奶的比例为 $17\%$）。
   • 备择假设 $H_1$ 是与原假设对立的假设，所以 $H_1:\pi> 0.17$（即该城市早餐饮用牛奶的比例高于 $17\%$），这是一个右侧检验。
2. 计算样本比例 $p$：
   • 已知样本中饮用牛奶的人数为 $x = 115$，样本容量 $n=550$，根据样本比例公式 $p=\frac{x}{n}$，可得 $p=\frac{115}{550}\approx0.209$。
3. 计算检验统计量 $z$ 值：
   • 总体比例检验的 $z$ 统计量计算公式为 $z=\frac{p - \pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0(1 - \pi_0)}{n}}}$，其中 $\pi_0 = 0.17$，$p\approx0.209$，$n = 550$。
   • 先计算分母 $\sqrt{\frac{\pi_0(1 - \pi_0)}{n}}=\sqrt{\frac{0.17\times(1 - 0.17)}{550}}=\sqrt{\frac{0.17\times0.83}{550}}$
     • $0.17\times0.83 = 0.1411$。
     • $\frac{0.1411}{550}\approx0.000257$。
     • $\sqrt{0.000257}\approx0.0160$。
   • 再计算分子 $p-\pi_0=0.209 - 0.17 = 0.039$。
   • 则 $z=\frac{0.039}{0.0160}\approx2.44$。
4. 确定临界值并进行决策：
   • 已知显著性水平 $\alpha = 0.05$，对于右侧检验，临界值 $z_{\alpha}=1.96$。
   • 比较 $z$ 值和临界值，由于 $z = 2.44>z_{\alpha}=1.96$，落在拒绝域内，所以拒绝原假设 $H_0$。