题目

设连续型随机变量服从参数的指数分布，求的概率密度函数。

设连续型随机变量 $X$ 服从参数 $2$ 的指数分布，求 $Y=2X+1$ 的概率密度函数 $f_y(y)$ 。

题目解答

答案

随机变量 $X$ 服从参数 $2$ 的指数分布，则其密度函数为： $f\left(x\right)=\left \{ ^{2e^{-2x},x\ge0}_{0,x<0} \right.$

而由 $Y=2X+1$ ，设随机变量 $Y$ 的分布函数为 $F\left(y\right)$ ，

当 $x<0$ 时，即 $Y=2X+1<1$ 时， $F\left(y\right)=0$

当 $x\ge0$ 时，即 $Y=2X+1\ge1$ 时， $F\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=P\left(2X+1\le y\right)=P\left(X\le\frac{y-1}{2}\right)$

因此， $F\left(y\right)=\int_0^{\frac{y-1}{2}}2e^{-2x}dx=1-e^{1-y}$

而由此，对应的密度函数即为：

$Y<1$ 时， $f_y(y)=0$ ；

$Y\ge1$ 时， $f_y(y)=\frac{d\left(1-e^{1-y}\right)}{dy}=e^{1-y}$ ；

综上， $Y=2X+1$ 的概率密度函数 $f_y(y)$ 为

$f_y(y)=\left \{ ^{e^{1-y},y\ge1}_{0,y<1} \right.$

解析

步骤 1：确定随机变量X的概率密度函数
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为：
\[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \]
其中，x ≥ 0。

步骤 2：确定随机变量Y的分布函数
由Y = 2X + 1，设随机变量Y的分布函数为F(y)。
当y < 1时，即2X + 1 < 1，即X < 0，此时F(y) = 0。
当y ≥ 1时，即2X + 1 ≥ 1，即X ≥ 0，此时F(y) = P(X ≤ (y - 1)/2)。
因此，F(y) = ∫_{0}^{(y-1)/2} λe^{-λx} dx = 1 - e^{-λ(y-1)/2}。

步骤 3：确定随机变量Y的概率密度函数
由F(y)的表达式，对F(y)求导得到Y的概率密度函数f(y)。
当y < 1时，f(y) = 0。
当y ≥ 1时，f(y) = dF(y)/dy = (λ/2)e^{-λ(y-1)/2}。