1.(判断题,5.0分)-|||-|z+i|+|z-i|leqslant 4 是有界单连通闭区域.-|||-A 对-|||-B 错

考查要点：本题主要考查复数平面上几何区域的性质判断，涉及有界性、单连通性及闭区域的判定。

解题核心思路：

1. 几何意义转化：将复数不等式$|z+i| + |z-i| \leqslant 4$转化为几何图形，明确其形状。
2. 椭圆定义应用：根据两焦点到点的距离之和为常数，判断该区域为椭圆及其内部。
3. 区域性质分析：结合椭圆的几何特性，判断其是否满足有界、单连通和闭区域的条件。

破题关键点：

• 焦点位置：确定焦点为$(0, -1)$和$(0, 1)$，焦点间距为$2$。
• 椭圆参数计算：通过椭圆定义计算长半轴$a=2$，短半轴$b=\sqrt{3}$，验证区域形状。
• 单连通性：椭圆内部无“洞”，任意闭合曲线可收缩为点。

步骤1：几何图形分析

复数$z = x + yi$满足不等式：
$|z+i| + |z-i| \leqslant 4$
展开得：
$\sqrt{x^2 + (y+1)^2} + \sqrt{x^2 + (y-1)^2} \leqslant 4$
根据椭圆定义，两焦点到点的距离之和为常数，此处常数$4 >$焦点间距$2$，故该不等式描述的是以$(0, -1)$和$(0, 1)$为焦点的椭圆及其内部区域。

步骤2：椭圆参数计算

• 长半轴：由$2a = 4$得$a = 2$。
• 焦点间距：$2c = 2$得$c = 1$。
• 短半轴：由$c^2 = a^2 - b^2$得$b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{3}$。

椭圆方程为：
$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} \leqslant 1$

步骤3：区域性质判定

1. 有界性：椭圆是封闭且有限的图形，故区域有界。
2. 单连通性：椭圆内部无空腔，任意闭合曲线可连续收缩为点，故为单连通。
3. 闭区域：包含边界（椭圆本身），故为闭区域。

综上，原命题正确。