雅可比符号((6)/(91))=

为了计算雅可比符号 $\left(\frac{6}{91}\right)$，我们首先将91分解为质数的乘积。我们有 $91 = 7 \times 13$。因此，雅可比符号可以表示为： \[ \left(\frac{6}{91}\right) = \left(\frac{6}{7}\right) \left(\frac{6}{13}\right) \] 接下来，我们需要计算勒让德符号 $\left(\frac{6}{7}\right)$ 和 $\left(\frac{6}{13}\right)$。 首先，计算 $\left(\frac{6}{7}\right)$。由于 $6 \equiv -1 \pmod{7}$，我们有： \[ \left(\frac{6}{7}\right) = \left(\frac{-1}{7}\right) \] 勒让德符号 $\left(\frac{-1}{p}\right)$ 的值取决于 $p$ 的奇偶性。如果 $p \equiv 1 \pmod{4}$，则 $\left(\frac{-1}{p}\right) = 1$；如果 $p \equiv 3 \pmod{4}$，则 $\left(\frac{-1}{p}\right) = -1$。因为 $7 \equiv 3 \pmod{4}$，我们有： \[ \left(\frac{-1}{7}\right) = -1 \] 所以，$\left(\frac{6}{7}\right) = -1$。 接下来，计算 $\left(\frac{6}{13}\right)$。由于 $6 = 2 \times 3$，我们有： \[ \left(\frac{6}{13}\right) = \left(\frac{2}{13}\right) \left(\frac{3}{13}\right) \] 首先，计算 $\left(\frac{2}{13}\right)$。勒让德符号 $\left(\frac{2}{p}\right)$ 的值取决于 $p$ 的形式。如果 $p \equiv \pm 1 \pmod{8}$，则 $\left(\frac{2}{p}\right) = 1$；如果 $p \equiv \pm 3 \pmod{8}$，则 $\left(\frac{2}{p}\right) = -1$。因为 $13 \equiv 5 \pmod{8}$，我们使用二次互反律来计算 $\left(\frac{2}{13}\right)$。二次互反律 states: \[ \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} \] 对于 $p = 13$: \[ \frac{13^2 - 1}{8} = \frac{168}{8} = 21 \] 所以: \[ \left(\frac{2}{13}\right) = (-1)^{21} = -1 \] 接下来，计算 $\left(\frac{3}{13}\right)$。使用二次互反律，我们有: \[ \left(\frac{3}{13}\right) \left(\frac{13}{3}\right) = (-1)^{\frac{3-1}{2} \cdot \frac{13-1}{2}} = (-1)^{1 \cdot 6} = 1 \] 所以: \[ \left(\frac{3}{13}\right) = \left(\frac{13}{3}\right) \] 由于 $13 \equiv 1 \pmod{3}$，我们有: \[ \left(\frac{13}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right) = 1 \] 所以: \[ \left(\frac{3}{13}\right) = 1 \] 因此: \[ \left(\frac{6}{13}\right) = \left(\frac{2}{13}\right) \left(\frac{3}{13}\right) = (-1) \cdot 1 = -1 \] 最后，将 $\left(\frac{6}{7}\right)$ 和 $\left(\frac{6}{13}\right)$ 的值相乘，得到: \[ \left(\frac{6}{91}\right) = \left(\frac{6}{7}\right) \left(\frac{6}{13}\right) = (-1) \cdot (-1) = 1 \] 所以，雅可比符号 $\left(\frac{6}{91}\right)$ 的值是: \[ \boxed{1} \]