题目
例6 设随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ) (e)^-y,0lt xlt y 0, .-|||-(1)求X与Y的边缘概率密度,并判断X与Y是否相互独立;-|||-(2)求在 =y 的条件下,X的条件概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求X的边缘概率密度
根据边缘概率密度的定义，我们有 ${f}_{X}(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$。由于 $f(x,y)$ 在 $0步骤 2：计算积分
当 $x\leqslant 0$ 时，${f}_{X}(x)=0$。当 $x>0$ 时，${f}_{X}(x)={\int }_{x}^{+\infty }{e}^{-y}dy={e}^{-x}$。
步骤 3：求Y的边缘概率密度
根据边缘概率密度的定义，我们有 ${f}_{Y}(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$。由于 $f(x,y)$ 在 $0步骤 4：计算积分
当 $y\leqslant 0$ 时，${f}_{Y}(y)=0$。当 $y>0$ 时，${f}_{Y}(y)={\int }_{0}^{y}{e}^{-y}dx=y{e}^{-y}$。
步骤 5：判断X与Y是否相互独立
根据相互独立的定义，如果 ${f}_{X}(x)\cdot {f}_{Y}(y)=f(x,y)$，则X与Y相互独立。由于当 $0步骤 6：求在 Y=y 的条件下，X的条件概率密度
根据条件概率密度的定义，我们有 ${f}_{X|Y}(x|y)=\dfrac {f(x,y)}{{f}_{Y}(y)}$。当 $y>0$ 时，${f}_{Y}(y)>0$，因此 ${f}_{X|Y}(x|y)=\dfrac {f(x,y)}{{f}_{Y}(y)}=\dfrac {{e}^{-y}}{y{e}^{-y}}=\dfrac {1}{y}$。
根据边缘概率密度的定义，我们有 ${f}_{X}(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$。由于 $f(x,y)$ 在 $0
当 $x\leqslant 0$ 时，${f}_{X}(x)=0$。当 $x>0$ 时，${f}_{X}(x)={\int }_{x}^{+\infty }{e}^{-y}dy={e}^{-x}$。
步骤 3：求Y的边缘概率密度
根据边缘概率密度的定义，我们有 ${f}_{Y}(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$。由于 $f(x,y)$ 在 $0
当 $y\leqslant 0$ 时，${f}_{Y}(y)=0$。当 $y>0$ 时，${f}_{Y}(y)={\int }_{0}^{y}{e}^{-y}dx=y{e}^{-y}$。
步骤 5：判断X与Y是否相互独立
根据相互独立的定义，如果 ${f}_{X}(x)\cdot {f}_{Y}(y)=f(x,y)$，则X与Y相互独立。由于当 $0
根据条件概率密度的定义，我们有 ${f}_{X|Y}(x|y)=\dfrac {f(x,y)}{{f}_{Y}(y)}$。当 $y>0$ 时，${f}_{Y}(y)>0$，因此 ${f}_{X|Y}(x|y)=\dfrac {f(x,y)}{{f}_{Y}(y)}=\dfrac {{e}^{-y}}{y{e}^{-y}}=\dfrac {1}{y}$。