题目
函数曲线上任何一点处的切线均在曲线的上方 则该函数为凸函数A 正确 B 错误
函数曲线上任何一点处的切线均在曲线的上方 则该函数为凸函数
A 正确
B 错误
题目解答
答案
函数凹凸性的判断：
若二阶导数大于零，则是凹函数，有极小值，若二阶导数小于零，则是凸函数，有极大值。
若已知一个函数在区间
内是凸函数，在区间
内是凹函数，取一点临近
点，则此时切线在凸函数的内则即下方，故本题答案选
解析
步骤 1：理解凸函数的定义
凸函数的定义是：对于定义域内的任意两点x1和x2，以及任意的t∈[0,1]，有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)。直观上，这意味着函数的图像在任意两点之间的连线之下。
步骤 2：理解切线与凸函数的关系
对于凸函数，其在任意一点的切线均位于该点附近的函数图像的下方。这是因为凸函数的二阶导数非负，即f''(x)≥0，这表明函数的斜率（一阶导数）是单调递增的，因此切线在该点附近始终位于函数图像的下方。
步骤 3：分析题目中的条件
题目中提到“函数曲线上任何一点处的切线均在曲线的上方”，这与凸函数的定义相矛盾。根据凸函数的定义，切线应该在函数图像的下方，而不是上方。因此，题目中的条件描述的是一个凹函数，而不是凸函数。
凸函数的定义是：对于定义域内的任意两点x1和x2，以及任意的t∈[0,1]，有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)。直观上，这意味着函数的图像在任意两点之间的连线之下。
步骤 2：理解切线与凸函数的关系
对于凸函数，其在任意一点的切线均位于该点附近的函数图像的下方。这是因为凸函数的二阶导数非负，即f''(x)≥0，这表明函数的斜率（一阶导数）是单调递增的，因此切线在该点附近始终位于函数图像的下方。
步骤 3：分析题目中的条件
题目中提到“函数曲线上任何一点处的切线均在曲线的上方”，这与凸函数的定义相矛盾。根据凸函数的定义，切线应该在函数图像的下方，而不是上方。因此，题目中的条件描述的是一个凹函数，而不是凸函数。