题目

题型说明:判断题，共5题，每个2分。14. (2.0分) 若函数y=f(x)在点x_(0)处可导，且该点的导数值为零，则x_(0)点一定是f(x)的极值点。A 对B 错

题型说明:判断题，共5题，每个2分。 14. (2.0分) 若函数y=f(x)在点$x_{0}$处可导，且该点的导数值为零，则$x_{0}$点一定是f(x)的极值点。 A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断题目中陈述的正确性，我们需要分析函数在某点可导且导数值为零的条件，以及这是否意味着该点一定是函数的极值点。 题目说明：若函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可导，且该点的导数值为零，则 $ x_0 $ 点一定是 $ f(x) $ 的极值点。 让我们逐步分析： 1. **可导性与导数为零**：如果函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可导，且 $ f'(x_0) = 0 $，则 $ x_0 $ 是函数 $ f(x) $ 的一个临界点。临界点是函数可能有极值的点，但并不一定有。 2. **极值点**：极值点（最大值或最小值）是函数在该点的值大于或小于该点邻近所有点的值的点。为了确定临界点是否为极值点，我们需要使用一阶导数测试或二阶导数测试。 3. **反例**：考虑函数 $ f(x) = x^3 $。这个函数在所有地方都可导，且 $ f'(x) = 3x^2 $。在 $ x_0 = 0 $ 处，导数为 $ f'(0) = 0 $。然而，$ x_0 = 0 $ 并不是 $ f(x) = x^3 $ 的极值点，因为函数在 $ x_0 = 0 $ 的左右两边都是增加的。具体来说，对于 $ x < 0 $，$ f(x) < 0 $，对于 $ x > 0 $，$ f(x) > 0 $，但函数并没有在 $ x_0 = 0 $ 处改变方向。 因此，函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可导，且该点的导数值为零，并不意味着 $ x_0 $ 点一定是 $ f(x) $ 的极值点。 正确答案是 $\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查学生对导数与极值关系的理解，特别是导数为零的点是否一定是极值点的判断能力。

解题核心思路：

  1. 导数为零的点是临界点，但临界点不一定是极值点。
  2. 极值存在的必要条件是导数为零，但充分条件需要进一步验证（如二阶导数或导数符号变化）。
  3. 通过反例即可快速判断命题不成立。

关键概念回顾

  • 临界点：若函数在点 $x_0$ 处可导且 $f'(x_0)=0$，则 $x_0$ 是临界点。
  • 极值点：若函数在 $x_0$ 处的值大于（或小于）邻域内所有点的值，则 $x_0$ 是极大值（或极小值）点。

反例分析

考虑函数 $f(x) = x^3$：

  1. 可导性：$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f'(x) = 3x^2$。
  2. 导数为零：$f'(0) = 0$，说明 $x=0$ 是临界点。
  3. 极值判断：
    • 当 $x < 0$ 时，$f(x) = x^3 < 0$；
    • 当 $x > 0$ 时，$f(x) = x^3 > 0$。
    • 函数在 $x=0$ 处单调递增，未出现极值。

结论：导数为零的点不一定是极值点，因此原命题错误。