求y= ) (x)^2 (-1leqslant xlt 0) ln x (0lt xleqslant 1) 2(e)^x-1 (1lt xleqslant 2) .的反函数及其定义域.

考查要点：本题主要考查分段函数反函数的求解方法，以及反函数定义域的确定。关键在于分段处理原函数的各部分，分别求出对应的反函数，并确定每个反函数的定义域（即原函数对应分段的值域）。

解题思路：

1. 分段分析：将原函数分为三个区间，分别处理每个区间的单调性，确保存在反函数。
2. 求反函数：对每个分段解方程 $y = f(x)$，用 $y$ 表示 $x$，并注意原区间对 $x$ 的限制。
3. 确定定义域：反函数的定义域是原函数对应分段的值域，需结合原函数的取值范围推导。

破题关键：

• 原函数分段区间修正：题目中第一个分段 $1 \leqslant x < 0$ 实际应为 $-1 \leqslant x < 0$（否则区间为空）。
• 单调性判断：每个分段在修正后的区间内均为严格单调，保证反函数存在。

第1段：$-1 \leqslant x < 0$，$y = x^2$

1. 求反函数：
   由 $y = x^2$ 得 $x = \pm \sqrt{y}$，但原区间 $x < 0$，故取负根：
   $x = -\sqrt{y}.$
2. 确定定义域：
   当 $x \in [-1, 0)$ 时，$y = x^2 \in (0, 1]$，故反函数定义域为 $0 < x \leqslant 1$。

第2段：$0 < x \leqslant 1$，$y = \ln x$

1. 求反函数：
   由 $y = \ln x$ 得 $x = e^y$。
2. 确定定义域：
   当 $x \in (0, 1]$ 时，$y = \ln x \in (-\infty, 0]$，故反函数定义域为 $x \leqslant 0$。

第3段：$1 < x \leqslant 2$，$y = 2e^{x-1}$

1. 求反函数：
   由 $y = 2e^{x-1}$ 得 $x - 1 = \ln \frac{y}{2}$，即：
   $x = 1 + \ln \frac{y}{2}.$
2. 确定定义域：
   当 $x \in (1, 2]$ 时，$y = 2e^{x-1} \in (2, 2e]$，故反函数定义域为 $2 < x \leqslant 2e$。