题目

一为一上点一到点一一段弧,计算曲线积分一

$L$ 为 $y=\sin x$ 上点 $O(0,0)$ 到点 $M(\pi,0)$ 一段弧,计算曲线积分 $\int_L^{ }(x^2+3y)dx+(y^2-x)dy$

题目解答

补 $L_1$ 为沿 $x$ 轴，从点 $M(\pi,0)$ 到点 $O(0,0)$

由格林公式，得到： $\int_{L+L_1}^{ }(x^2+3y)dx+(y^2-x)dy$ $=-\iint\limits_{D}^{}-1-3dxdy=4\int_0^{\pi}\sin xdx=8$

其中 $D$ 为 $L,L_1$ 围成的区域

在 $L_1$ 上， $\int_{L_1}^{ }(x^2+3y)dx+(y^2-x)dy=\int_{\pi}^0x^2dx=-\frac{1}{3}\pi^3$

故 $\int_L^{ }(x^2+3y)dx+(y^2-x)dy=8+\frac{1}{3}\pi^3$