题目

设曲线积分I=|y[φ(x)- e^x]dx-φ(x)dy与路径无关，其中I=|y[φ(x)- e^x]dx-φ(x)dy可导且I=|y[φ(x)- e^x]dx-φ(x)dy，求I=|y[φ(x)- e^x]dx-φ(x)dy.

设曲线积分 $I=\int_L^{ }y\left[\varphi(x)-e^x\right]dx-\varphi(x)dy$ 与路径无关，其中 $\varphi(x)$ 可导且 $\varphi(0)=0$ ，求 $\varphi(x)$ .

题目解答

答案

已知曲线积分 $I=\int_L^{ }y\left[\varphi(x)-e^x\right]dx-\varphi(x)dy$ 与路径无关，则满足 $\frac{\partial\left[y\left(\varphi(x)-e^x\right)\right]}{\partial y}=\frac{\partial\left[-\varphi(x)\right]}{\partial x}$ ，得到 $\varphi(x)-e^x=-\varphi'(x)$ ，即 $\varphi'(x)+\varphi(x)=e^x$ ，利用一阶线性微分方程通解公式，可知 $\varphi\left(x\right)=e^{-\int_{ }^{ }dx}\left(\int_{ }^{ }e^x\cdot e^{\int_{ }^{ }dx}dx+C\right)=e^{-x}\left(\int_{ }^{ }e^x\cdot e^xdx+C\right)$ $=e^{-x}\left(\frac{1}{2}e^{2x}+C\right)=\frac{1}{2}e^x+Ce^{-x}$ ，代入条件 $\varphi(0)=0$ ，可知 $C=\frac{1}{2}$ ，故函数为 $\varphi\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{2}e^{-x}$ .