(2025,3)设矩阵A=}1&2-2&-a，若f(x,y)=|xA+yB|是正定二次型，则a的取值范围是A. (0,2-sqrt(3)).B. (2-sqrt(3),2+sqrt(3)).C. (2+sqrt(3),4).D. (0,4)

考查要点：本题主要考查二次型的正定性判断，涉及矩阵行列式的计算、二次型矩阵的构造以及正定条件的应用。

解题核心思路：

1. 构造二次型：将矩阵$xA + yB$的行列式展开，得到关于$x$和$y$的二次型表达式。
2. 确定二次型矩阵：根据二次型的表达式，构造对应的对称矩阵。
3. 应用正定条件：通过顺序主子式全大于0的条件，求解参数$a$的取值范围。

破题关键点：

• 行列式展开：正确计算矩阵$xA + yB$的行列式，得到二次型表达式。
• 矩阵构造：注意二次型中交叉项系数对应矩阵非对角线元素的一半。
• 不等式求解：联立顺序主子式条件，解二次不等式确定$a$的范围。

1. 计算二次型表达式

矩阵$xA + yB$为：
$xA + yB = \begin{bmatrix} x + y & 2x \\ -2x + y & -ax + ay \end{bmatrix}$
其行列式为：
$\begin{aligned}|xA + yB| &= (x + y)(-ax + ay) - (2x)(-2x + y) \\&= -a(x + y)x + a(x + y)y + 4x^2 - 2xy \\&= (4 - a)x^2 - 2xy + ay^2.\end{aligned}$

2. 构造二次型矩阵

二次型$f(x, y) = (4 - a)x^2 - 2xy + ay^2$对应的对称矩阵为：
$C = \begin{bmatrix} 4 - a & -1 \\ -1 & a \end{bmatrix}.$

3. 判断正定性

正定条件：

1. 顺序主子式全大于0：
   • 第一阶主子式：$4 - a > 0 \implies a < 4$；
   • 第二阶主子式（行列式）：$\det(C) = (4 - a)a - 1 > 0$。

解不等式：
$\begin{aligned}(4 - a)a - 1 > 0 &\implies -a^2 + 4a - 1 > 0 \\&\implies a^2 - 4a + 1 < 0.\end{aligned}$
求根得：
$a = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}.$
因此，$a \in (2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$。

综合条件：

• $2 + \sqrt{3} \approx 3.732 < 4$，故最终$a$的取值范围为$(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$。