学号-|||-班级-|||-姓名 装-|||-订-|||-装-|||-线-|||-订-|||-线-|||-内-|||-不-|||-要-|||-答-|||-题 在曲线学号-|||-班级-|||-姓名 装-|||-订-|||-装-|||-线-|||-订-|||-线-|||-内-|||-不-|||-要-|||-答-|||-题上一点学号-|||-班级-|||-姓名 装-|||-订-|||-装-|||-线-|||-订-|||-线-|||-内-|||-不-|||-要-|||-答-|||-题处作切线,该曲线、切线与学号-|||-班级-|||-姓名 装-|||-订-|||-装-|||-线-|||-订-|||-线-|||-内-|||-不-|||-要-|||-答-|||-题轴围成图形学号-|||-班级-|||-姓名 装-|||-订-|||-装-|||-线-|||-订-|||-线-|||-内-|||-不-|||-要-|||-答-|||-题的面积为学号-|||-班级-|||-姓名 装-|||-订-|||-装-|||-线-|||-订-|||-线-|||-内-|||-不-|||-要-|||-答-|||-题,求切点坐标和切线方程,并求图形学号-|||-班级-|||-姓名 装-|||-订-|||-装-|||-线-|||-订-|||-线-|||-内-|||-不-|||-要-|||-答-|||-题绕学号-|||-班级-|||-姓名 装-|||-订-|||-装-|||-线-|||-订-|||-线-|||-内-|||-不-|||-要-|||-答-|||-题轴旋转一周所得的旋转体的体积。

考查要点：本题综合考查导数的几何意义（求切线方程）、定积分计算平面图形面积、以及旋转体体积的计算方法。

解题思路：

1. 求切线方程：利用导数求出切线斜率，写出点斜式方程。
2. 确定积分区间：分析曲线、切线与x轴的交点，明确所求面积的构成区域。
3. 列方程求参数：通过积分计算面积，建立方程解出参数$a$。
4. 计算旋转体体积：应用圆盘法分段积分，求出绕x轴旋转的体积。

破题关键：

• 切线方程的正确性：导数计算准确，方程整理无误。
• 积分区间的划分：正确识别图形由抛物线、切线、x轴围成的两部分区域。
• 体积计算的分段处理：区分内外函数，正确应用圆盘法公式。

求切线方程

曲线$y = x^2$在点$P(a, a^2)$处的导数为$y' = 2x$，故切线斜率为$2a$。
切线方程为：
$y - a^2 = 2a(x - a) \implies y = 2ax - a^2.$

求切线与x轴的交点

令$y = 0$，解得：
$2ax - a^2 = 0 \implies x = \frac{a}{2}.$
交点为$\left(\frac{a}{2}, 0\right)$。

计算面积并解方程

图形由抛物线$y = x^2$、切线$y = 2ax - a^2$和x轴围成，分为两部分：

1. 从$x = 0$到$x = \frac{a}{2}$：面积为抛物线下方面积；
2. 从$x = \frac{a}{2}$到$x = a$：面积为抛物线与切线之间的面积。

总面积方程为：
$\int_{0}^{a} x^2 \, dx - \int_{\frac{a}{2}}^{a} (2ax - a^2) \, dx = \frac{1}{12}.$

计算积分：

1. $\int_{0}^{a} x^2 \, dx = \frac{a^3}{3}$；
2. $\int_{\frac{a}{2}}^{a} (2ax - a^2) \, dx = \frac{a^3}{4}$。

代入方程：
$\frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{4} = \frac{1}{12} \implies \frac{a^3}{12} = \frac{1}{12} \implies a = 1.$

求体积

图形绕x轴旋转，体积分为两部分：

1. 从$x = 0$到$x = \frac{1}{2}$：外半径为$x^2$，内半径为$0$；
2. 从$x = \frac{1}{2}$到$x = 1$：外半径为$x^2$，内半径为$2x - 1$。

体积公式为：
$V = \pi \left( \int_{0}^{\frac{1}{2}} (x^2)^2 \, dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \left[(x^2)^2 - (2x - 1)^2\right] \, dx \right).$

计算积分：

1. $\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^4 \, dx = \frac{1}{160}$；
2. $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \left(x^4 - (4x^2 - 4x + 1)\right) \, dx = \frac{13}{480}$。

总体积：
$V = \pi \left( \frac{1}{160} + \frac{13}{480} \right) = \frac{\pi}{30}.$