设随机变量x服从参数 theta =dfrac (1)(2) (即 lambda =2) 的指数分布,则随机变量 =1-(e)^-2x ()A.在（0,1）上服从均匀分布B.仍服从指数分布C.服从正态分布D.服从参数为2的泊松分布

考查要点：本题主要考查指数分布的变量变换以及均匀分布的识别。关键在于通过分布函数法推导新变量的分布。

解题思路：

1. 明确原变量X的分布：X服从参数λ=2的指数分布。
2. 分析变换后的变量Y的取值范围：通过表达式$Y=1-e^{-2X}$，确定Y的取值范围为$(0,1)$。
3. 利用分布函数法：通过计算$Y$的分布函数$F_Y(y)$，验证其是否符合均匀分布的特性（即$F_Y(y)=y$）。

破题关键：通过变量变换后的不等式变形，结合指数分布的分布函数，推导出$Y$的分布函数为线性函数，从而判断其服从均匀分布。

步骤1：确定变量X的分布函数

X服从参数λ=2的指数分布，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \begin{cases}2e^{-2x}, & x \geq 0, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$
对应的分布函数为：
$F_X(x) = P(X \leq x) = 1 - e^{-2x}, \quad x \geq 0.$

步骤2：分析变量Y的取值范围

由$Y = 1 - e^{-2X}$可知：

• 当$X \geq 0$时，$e^{-2X} \in (0,1]$，因此$Y = 1 - e^{-2X} \in [0,1)$。
• 由于连续型随机变量在端点的概率为0，故Y的实际取值范围为$(0,1)$。

步骤3：计算Y的分布函数

$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(1 - e^{-2X} \leq y).$
解不等式：
$1 - e^{-2X} \leq y \implies e^{-2X} \geq 1 - y \implies -2X \geq \ln(1 - y) \implies X \leq -\frac{\ln(1 - y)}{2}.$
因此：
$F_Y(y) = P\left(X \leq -\frac{\ln(1 - y)}{2}\right) = F_X\left(-\frac{\ln(1 - y)}{2}\right).$

步骤4：代入X的分布函数

将$x = -\frac{\ln(1 - y)}{2}$代入$F_X(x)$：
$F_Y(y) = 1 - e^{-2 \cdot \left(-\frac{\ln(1 - y)}{2}\right)} = 1 - e^{\ln(1 - y)} = 1 - (1 - y) = y.$

步骤5：判断Y的分布

$F_Y(y) = y$（$0 < y < 1$）表明Y的分布函数为斜率为1的直线，即Y在$(0,1)$上服从均匀分布。