3.当 arrow 0 时,下列无穷小中,哪个是比其他三个更高阶的无穷小 () .-|||-(A)x^2 (B) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_0b8d02b1b48c81aebf6dbc8d18c56ca9.jpg-cos x-|||-(C) sqrt (1-{x)^2}-1 (D) -tan x

考查要点：本题主要考查无穷小阶数的比较，需要利用泰勒展开或等价无穷小替换，判断各选项在$x \rightarrow 0$时的主部阶数。

解题核心思路：

1. 展开各选项的泰勒多项式，找到最高次项的次数；
2. 比较各选项的主部阶数，次数越高阶数越大；
3. 关键点：正确展开各函数的泰勒式，尤其注意高阶项的系数是否为零。

破题关键：

• 选项D的$x - \tan x$展开后为三次项，而其他选项均为二次项，因此D的阶数更高。

选项分析

(A) $x^2$

• 直接为二次无穷小，阶数为2。

(B) $1 - \cos x$

• $\cos x$的泰勒展开：$\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots$
• 因此，$1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$，阶数为2。

(C) $\sqrt{1 - x^2} - 1$

• $\sqrt{1 - x^2}$的泰勒展开：$\sqrt{1 - x^2} = 1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{8} - \cdots$
• 因此，$\sqrt{1 - x^2} - 1 \sim -\dfrac{x^2}{2}$，阶数为2。

(D) $x - \tan x$

• $\tan x$的泰勒展开：$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \cdots$
• 因此，$x - \tan x = x - \left(x + \dfrac{x^3}{3}\right) = -\dfrac{x^3}{3}$，阶数为3。

结论：选项D的阶数为3，高于其他选项的2，故D是更高阶的无穷小。