(本题12分)设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程。

考查要点：本题主要考查圆锥面方程的求解方法，涉及空间几何中圆锥面的定义、准线与母线的关系，以及参数方程的建立与消元技巧。

解题核心思路：

1. 确定准线：通过题目中给定的三个点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，找到它们所在的平面x+y+z=1，并与单位球面x²+y²+z²=1的交线作为圆锥面的准线。
2. 参数化母线：设圆锥面上任一点P(x,y,z)，其母线OP与准线的交点为(u,v,w)，通过参数t表示母线方程。
3. 联立方程消元：将参数方程代入准线方程，得到关于t的方程组，消去参数t后得到圆锥面的方程。

破题关键点：

• 准线的确定：平面与球面的交线是圆锥面的准线。
• 参数方程的建立：通过母线参数t将点P与准线上的点关联。
• 消元法：通过消去参数t，得到不含t的方程，即圆锥面方程。

步骤1：确定准线

由点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)确定的平面方程为 x + y + z = 1，与单位球面 x² + y² + z² = 1 的交线L即为圆锥面的准线。

步骤2：参数化母线

设圆锥面上任一点P(x,y,z)，其母线OP与准线L的交点为(u,v,w)。母线OP的参数方程为：
$\frac{x}{u} = \frac{y}{v} = \frac{z}{w} = t \quad \Rightarrow \quad u = xt,\ v = yt,\ w = zt.$

步骤3：代入准线方程

将(u,v,w)代入准线方程：
$\begin{cases}u + v + w = 1, \\u^2 + v^2 + w^2 = 1,\end{cases}$
得：
$\begin{cases}(x + y + z)t = 1, \\(x^2 + y^2 + z^2)t^2 = 1.\end{cases}$

步骤4：消去参数t

由第一个方程得 t = 1/(x + y + z)，代入第二个方程：
$(x^2 + y^2 + z^2)\left(\frac{1}{x + y + z}\right)^2 = 1.$
整理得：
$x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2.$
展开并化简：
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \quad \Rightarrow \quad xy + yz + zx = 0.$