设 A，B，C 为三个事件，指出下列各等式成立的条件.(1) ABC = A(2) A cup B cup C = A(3) A cup B = AB(4) A cup B - A = B

我们来逐个分析这四个等式，给出它们成立的条件，并用中文详细说明解题过程。

(1) $ ABC = A $

分析：

• $ ABC $ 表示事件 $ A $、$ B $、$ C $ 同时发生，即 $ A \cap B \cap C $。
• 等式 $ ABC = A $ 意味着：只要 $ A $ 发生，那么 $ B $ 和 $ C $ 也一定发生。

换句话说，$ A $ 的发生蕴含 $ B $ 和 $ C $ 的发生。

数学表达：

• $ A \subseteq B \cap C $
• 因为 $ ABC = A \cap B \cap C $，所以 $ A \cap B \cap C = A $ 成立当且仅当 $ A \subseteq B \cap C $

结论：

> 等式 $ ABC = A $ 成立的条件是：事件 $ A $ 是事件 $ B $ 与 $ C $ 的子集，即 $ A \subseteq B $ 且 $ A \subseteq C $。

(2) $ A \cup B \cup C = A $

分析：

• $ A \cup B \cup C $ 是三个事件中至少有一个发生的集合。
• 等式 $ A \cup B \cup C = A $ 表示：无论 $ B $ 或 $ C $ 是否发生，整个并集都不超出 $ A $。

这意味着 $ B $ 和 $ C $ 的发生都不能带来比 $ A $ 更多的结果。

数学含义：

• $ B \subseteq A $ 且 $ C \subseteq A $
• 因为 $ A \subseteq A \cup B \cup C $ 恒成立，所以要使并集等于 $ A $，必须有 $ B \cup C \subseteq A $

结论：

> 等式 $ A \cup B \cup C = A $ 成立的条件是：事件 $ B $ 和 $ C $ 都是 $ A $ 的子集，即 $ B \subseteq A $ 且 $ C \subseteq A $。

(3) $ A \cup B = AB $

分析：

• $ A \cup B $：$ A $ 或 $ B $ 发生
• $ AB $：$ A $ 与 $ B $ 同时发生，即 $ A \cap B $

等式 $ A \cup B = A \cap B $ 意味着：“至少一个发生” 等于 “两个同时发生”

这只有在 $ A $ 和 $ B $ 完全相等，并且它们的并集等于交集时才可能。

我们知道恒有：

• $ A \cap B \subseteq A \cup B $

要使两者相等，必须有：

• $ A \cup B \subseteq A \cap B $

但这只有在 $ A = B $ 且这个集合非常“小”的情况下才可能。

进一步分析：

设 $ A \cup B = A \cap B $

令 $ x \in A $，则 $ x \in A \cup B = A \cap B $，所以 $ x \in B $

同理，若 $ x \in B $，则 $ x \in A \cup B = A \cap B $，所以 $ x \in A $

因此 $ A \subseteq B $ 且 $ B \subseteq A $，即 $ A = B $

但这还不够。因为若 $ A = B $，则：

• $ A \cup B = A $
• $ A \cap B = A $
• 所以 $ A \cup B = A \cap B = A $

所以当 $ A = B $ 时等式成立。

反过来，若 $ A \cup B = A \cap B $，上面已推出 $ A = B $

结论：

> 等式 $ A \cup B = AB $ 成立的条件是：事件 $ A $ 与事件 $ B $ 相等，即 $ A = B $。

(4) $ A \cup B - A = B $

分析：

• $ A \cup B - A $：表示在 $ A \cup B $ 中但不在 $ A $ 中的元素，即 $ (A \cup B) \setminus A $
• 根据集合运算，有恒等式：
  $(A \cup B) \setminus A = B \setminus A$
  因为 $ A \cup B $ 中去掉 $ A $，剩下的就是 $ B $ 中不属于 $ A $ 的部分。

所以原式变为：
$B \setminus A = B$

这意味着：$ B $ 中没有任何元素属于 $ A $，即 $ B \cap A = \varnothing $

换句话说，$ B \subseteq A^c $，即 $ B $ 与 $ A $ 互不相交。

验证：

若 $ A \cap B = \varnothing $，则：

• $ B \setminus A = B $
• 所以 $ (A \cup B) \setminus A = B $
• 等式成立

反之，若 $ (A \cup B) \setminus A = B $，则 $ B \setminus A = B $，说明 $ B \cap A = \varnothing $

结论：

> 等式 $ A \cup B - A = B $ 成立的条件是：事件 $ B $ 与事件 $ A $ 互不相交，即 $ A \cap B = \varnothing $

最终答案总结：

1. $ ABC = A $ 成立的条件是：$\boxed{A \subseteq B \text{ 且 } A \subseteq C}$

2. $ A \cup B \cup C = A $ 成立的条件是：$\boxed{B \subseteq A \text{ 且 } C \subseteq A}$

3. $ A \cup B = AB $ 成立的条件是：$\boxed{A = B}$

4. $ A \cup B - A = B $ 成立的条件是：$\boxed{A \cap B = \varnothing}$