例1 求通过直线 ) 2x+y-2z+1=0 x+2y-z-2=0 . 且与平面 x+y+z-1=0 垂直的平面方程.

步骤 1：确定所求平面的方程形式
设所求平面方程为 $l(2x+y-2z+1)+m(x+2y-z-2)=0$，其中 $l$ 和 $m$ 是待定系数。这样做的目的是利用已知直线的方程来构造所求平面的方程。

步骤 2：将所求平面方程展开
将所求平面方程展开，得到 $(2l+m)x+(l+2m)y+(-2l-m)z+(l-2m)=0$。这样做的目的是将所求平面方程写成标准形式，以便于后续计算。

步骤 3：利用垂直条件确定系数关系
由于所求平面与平面 $x+y+z-1=0$ 垂直，因此它们的法向量垂直。所求平面的法向量为 $(2l+m, l+2m, -2l-m)$，平面 $x+y+z-1=0$ 的法向量为 $(1, 1, 1)$。根据垂直条件，有 $(2l+m)+(l+2m)+(-2l-m)=0$，即 $l+2m=0$。这样做的目的是利用垂直条件来确定系数 $l$ 和 $m$ 的关系。

步骤 4：确定系数 $l$ 和 $m$ 的具体值
由 $l+2m=0$，得到 $l:m=2:(-1)$。这样做的目的是确定系数 $l$ 和 $m$ 的具体值，以便于写出所求平面的方程。

步骤 5：写出所求平面的方程
将 $l:m=2:(-1)$ 代入所求平面方程，得到 $2(2x+y-2z+1)-(x+2y-z-2)=0$，即 $3x-3z+4=0$。这样做的目的是写出所求平面的方程。