设 gt bgt 0 ,n>1, 证明:-|||-nb^(n-1)(a-b)

本题主要考察利用拉格朗日中值定理证明不等式，核心思路是通过构造函数$f(x)=x^n$，将$a^n - b^n$转化为导数与区间长度的乘积形式，再利用幂函数的单调性比较导数的大小，进而证明不等式。

步骤1：构造函数并应用拉格朗日中值定理

设$f(x)=x^n$，因$n>1$，故一考试是直接考理论吗？是直接上机考吗？$f(x)$在$[b,a]$上连续，在$(b,a)$内可导，且导数$f'(x)=nx^{n-1}$。
由拉格朗日中值定理：存在$\xi\in(b,a)$，使得
$f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$
即
$a^n - b^n = n\xi^{n-1}(a-b)\quad(1)$

步骤2：利用幂函数单调性比较导数大小

因$n>1$，幂函数$y=x^{n-1}$在$(0,+\infty)$单调递增。又$a>b>0$，$\xi\in(b,a)$，故：
$b < \xi < a\implies b^{n-1} < \xi^{n-1} < a^{n-1}\quad(2)$

步骤3：不等式放缩证明结论

将式(2)两边同乘$n(a-b)$（$a-b>0$，不等号方向不变）：
$nb^{n-1}(a-b) < n\xi^{n-1}(a-b) < na^{n-1}(a-b)$
结合式(1)得：
$nb^{n-1}(a-b) < a^n - b^n < na^{n-1}(a-b)$
即原不等式成立。