极限 lim_((x,y)to (0,0)) (x^2y)/(x^4 + y^2) ().A. 等于0B. 不存在C. 等于2D. 存在但不等于0

考查要点：本题主要考查二元函数极限的存在性判断，需要掌握沿不同路径趋近于点时极限值是否一致的方法。

解题核心思路：
若二元函数的极限存在，则沿任意路径趋近于该点时的极限值必须相同。因此，只需找到两条不同路径使得极限值不同，即可判定原极限不存在。

破题关键点：

1. 选择典型路径（如直线、抛物线）代入计算；
2. 对比不同路径下的极限结果，若结果不同则极限不存在。

沿直线路径 $y = kx$

将 $y = kx$ 代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot kx}{x^4 + (kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{kx^3}{x^4 + k^2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{kx}{x^2 + k^2} = 0.$
结论：沿任意直线路径，极限均为 $0$。

沿抛物线路径 $y = kx^2$

将 $y = kx^2$ 代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot kx^2}{x^4 + (kx^2)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{kx^4}{x^4 + k^2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{k}{1 + k^2}.$
结论：沿抛物线路径，极限值为 $\frac{k}{1 + k^2}$，依赖于参数 $k$。例如：

• 当 $k = 0$ 时，极限为 $0$；
• 当 $k = 1$ 时，极限为 $\frac{1}{2}$；
• 当 $k = 2$ 时，极限为 $\frac{2}{5}$。

关键矛盾：
沿直线路径极限恒为 $0$，但沿抛物线路径极限值随 $k$ 变化。因此，不同路径下的极限值不一致，原极限不存在。