已知抛物线 =p(x)^2+qx (其中 lt 0,qgt 0) 在第一象限内与直线 x+y=5 相切,-|||-且此抛物线与x轴所围成的图形的面积为A.问p和q为何值时,A达到最大值,并求-|||-出此最大值.

考查要点：本题综合考查抛物线与直线相切的条件、定积分求面积、以及利用导数求函数最大值的方法。

解题核心思路：

1. 相切条件：联立抛物线与直线方程，利用判别式为零得到参数关系式。
2. 面积计算：确定抛物线与x轴的交点，计算积分表达式。
3. 最值问题：将面积表示为单一变量函数，通过求导找到极值点，验证最大值。

破题关键点：

• 联立方程求判别式：通过相切条件得到$p$与$q$的关系式。
• 积分区间确定：抛物线与x轴的交点为$x=0$和$x=-\dfrac{q}{p}$，积分区间为$[0, -\dfrac{q}{p}]$。
• 函数最值分析：将面积表达式转化为关于$q$的函数，通过导数判断极值点。

联立方程求相切条件

联立抛物线$y = p x^2 + q x$与直线$x + y = 5$，消去$y$得：
$p x^2 + (q + 1)x - 5 = 0$
因相切，判别式$\Delta = 0$：
$(q + 1)^2 + 20p = 0 \quad \Rightarrow \quad p = -\dfrac{(q + 1)^2}{20}$

计算面积表达式

抛物线与x轴的交点为$x = 0$和$x = -\dfrac{q}{p}$，积分区间为$[0, -\dfrac{q}{p}]$：
$A = \int_{0}^{-\dfrac{q}{p}} (p x^2 + q x) \, dx = \left[ \dfrac{p}{3}x^3 + \dfrac{q}{2}x^2 \right]_{0}^{-\dfrac{q}{p}} = \dfrac{q^3}{6p^2}$

代入参数关系式

将$p = -\dfrac{(q + 1)^2}{20}$代入面积公式：
$A(q) = \dfrac{200 q^3}{3 (q + 1)^4}$

求导找极值点

对$A(q)$求导并令导数为零：
$A'(q) = \dfrac{200 q^2 (3 - q)}{3 (q + 1)^5} = 0 \quad \Rightarrow \quad q = 3$
通过单调性分析可知，当$q = 3$时，$A(q)$取得最大值。

求$p$和最大面积

代入$q = 3$得：
$p = -\dfrac{(3 + 1)^2}{20} = -\dfrac{4}{5}, \quad A = \dfrac{200 \cdot 3^3}{3 \cdot 4^4} = \dfrac{225}{32}$