题目

6. 若u(x,y)是区域D内的调和函数，则存在v(x,y)使得f(z)=u+iv在D内解析。 ( ) 二、填空题

6. 若u(x,y)是区域D内的调和函数，则存在v(x,y)使得f(z)=u+iv在D内解析。 ( ) 二、填空题

题目解答

答案

为了确定给定的陈述是否正确，我们需要理解调和函数和解析函数之间的关系。让我们一步步来分析。 1. **调和函数的定义**：如果一个函数 $ u(x, y) $ 满足拉普拉斯方程，即 $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 $，则称该函数为调和函数。 2. **解析函数的定义**：如果一个复函数 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $ 在区域 $ D $ 内的每一点处都可导，则称该函数在区域 $ D $ 内解析。这等价于说 $ u $ 和 $ v $ 满足柯西-黎曼方程： $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $ 和 $ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $。 3. **调和函数和解析函数之间的关系**：如果 $ u(x, y) $ 是区域 $ D $ 内的调和函数，那么存在一个函数 $ v(x, y) $ 使得 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $ 在 $ D $ 内解析。这个函数 $ v $ 称为 $ u $ 的调和共轭。$ v $ 的存在性由区域 $ D $ 的性质保证。具体来说，如果 $ D $ 是一个单连通区域，那么 $ v $ 一定存在。 由于题目没有指定区域 $ D $ 是单连通的，我们不能保证 $ v $ 的存在性。然而，如果 $ D $ 是单连通的，那么该陈述是正确的。但没有这个条件，该陈述不一定正确。 因此，该陈述是错误的，因为没有指定 $ D $ 是单连通的。 答案是：$\boxed{\text{错误}}$。

解析

本题考查调和函数与解析函数的关系，核心在于理解调和共轭函数的存在条件。关键点如下：

  1. 调和函数满足拉普拉斯方程；
  2. 解析函数要求满足柯西-黎曼方程；
  3. 调和共轭函数的存在性依赖于区域是否为单连通区域；
  4. 题目未明确区域$D$是否单连通，因此结论不成立。

调和函数与解析函数的关系

  1. 调和函数的定义
    若函数$u(x,y)$满足$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$，则称$u$为调和函数。

  2. 解析函数的条件
    复函数$f(z)=u+iv$在区域$D$内解析，当且仅当：

    • $u$和$v$满足柯西-黎曼方程：
      $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$
    • $u$和$v$均为调和函数。

  3. 调和共轭的存在性

    • 若$u$是区域$D$内的调和函数，则存在调和共轭函数$v$的充分必要条件是：区域$D$是单连通的。
    • 若$D$为多连通区域，即使$u$调和，也可能无法找到满足柯西-黎曼方程的$v$。

题目关键分析

  • 题目未说明区域$D$是否为单连通区域，因此无法保证$v(x,y)$的存在性。
  • 结论：原命题缺少必要条件（单连通性），故为错误。