题目
13.设平面区域D由曲线y=sqrt(3(1-x^2))与直线y=sqrt(3)x及y轴所围成.计算二重积分iintlimits_(D)(x^2+y^2)dxdy.
13.设平面区域D由曲线$y=\sqrt{3(1-x^{2})}$与直线$y=\sqrt{3}x$及y轴所围成.计算二重积分
$\iint\limits_{D}(x^{2}+y^{2})dxdy.$
题目解答
答案
将区域 $D$ 转换为极坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = r\,dr\,d\theta$。
交点为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$，对应 $\theta = \frac{\pi}{3}$。
积分区域为 $\theta \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]$，$r$ 从 $0$ 到椭圆边界。
计算得：
\[
\boxed{\frac{13\sqrt{3}}{24} - \sqrt{\frac{1}{6}}}
\]