13.设平面区域D由曲线y=sqrt(3(1-x^2))与直线y=sqrt(3)x及y轴所围成.计算二重积分iintlimits_(D)(x^2+y^2)dxdy.

题目考察知识

本题主要考察二重积分的计算，涉及极坐标变换简化积分区域及被被积函数的处理。

解题思路

1. **区域D的确定

• 曲线分析：曲线$y=\sqrt{{3(1-x^2)}$可化为$\frac{x^2}+\frac{y^2}{3}=1(y\geq0)$，是上半椭圆。
• 边界交点：直线$y=\sqrt{3}}x$与椭圆交于$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2})$，对应极角$\theta=\frac{\pi}{3}$；$y$轴对应$\theta=\frac{\frac{\pi}{2}\}$。
• 积分区域：$\theta\in[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$，$r$从0到椭圆边界$r(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+2\sin^2\theta}}$。

2. **极坐标变换

• 被积函数：$x^2+y^2=r^2$，故积分变为$\iint_D r^3 drd\theta$。
• 积分计算：
  • 内层积分：$\int_0^{r(\theta)}r^3dr=\frac{1}{4}r(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+\sin^2\theta}}]^4=\frac{9}{4(1+\sin^2\theta)^2}$。
  • 外层积分：$\frac{9}{4}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi2}\frac{d\theta}{(1+\sin^2\theta)^2}$，用公式$\int\frac{d\theta}{(a+b\sin^2\theta}=\frac{1}{\sqrt{a(a+b)}}\arctan(\sqrt{\frac{b}{a}}\tan\theta)+C$，得$\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}(\frac{\pi}{6}+\sqrt{3})$。

3. **最终结果

化简得$\frac{13\sqrt{3}}{24}-\sqrt{\frac{1}{6}}}$。