题目

利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量；用最大无关组线性表示： (1) (} 25& 31& 17& 43 75& 94& 53& 132 75& 94& 54& 134 25& 32& 20& 48 ) .

利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量；用最大无关组线性表示：

题目解答

答案

将题给矩阵记为A并记第i列的列向量为a
i．(1)对A施以初等行变换变为行最简形矩阵：可见R(A)=3而a
1a
2a
3为其一个最大无关组且(2)对A施以初等行变换变为行阶梯形矩阵：可见R(a)=3且a
1a
2a
3为其一个最大无关组．为把a
4a
5用a
1a
2a
3线性表示把A再变成行最简形矩阵：把上面的行最简矩阵记作A=(b
1b
2b
3b
4b
5)由于方程Ax=0与Ax=0同解即方程 x
1a
1+x
2a
2+x
3a
3+x
4a
4+x
5a
5=0 与 x
1b
1+x
2b
2+x
3b
3+x
4b
4+x
5b
5=0 同解因此向量a
1a
2a
3a
4a
5之间与向量b
1b
2b
3b
4b
5之间有相同的线性关系(注意A与A的行向量组等价但列向量组可能不等价)．于是由即a
4=a
1+3a
2一a
3a
5=一a
2+a
3．
将题给矩阵记为A,并记第i列的列向量为ai．(1)对A施以初等行变换变为行最简形矩阵：可见R(A)=3,而a1,a2,a3为其一个最大无关组,且(2)对A施以初等行变换变为行阶梯形矩阵：可见R(a)=3,且a1,a2,a3为其一个最大无关组．为把a4,a5用a1,a2,a3线性表示,把A再变成行最简形矩阵：把上面的行最简矩阵记作A=(b1,b2,b3,b4,b5),由于方程Ax=0与Ax=0同解,即方程x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0与x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解,因此向量a1,a2,a3,a4,a5之间与向量b1,b2,b3,b4,b5之间有相同的线性关系(注意,A与A的行向量组等价,但列向量组可能不等价)．于是由即a4=a1+3a2一a3,a5=一a2+a3．

解析

核心思路：

  1. 矩阵的秩决定了列向量组最大无关组的个数。
  2. 初等行变换不改变列向量间的线性关系，可将矩阵化为行最简形，通过主元位置确定最大无关组。
  3. 非主元列对应的原列向量可用最大无关组线性表示，系数由行最简形矩阵中的对应列确定。

关键点：

  • 行最简形矩阵的主元列对应原矩阵的最大无关组。
  • 齐次方程同解性保证行变换后列向量的线性关系不变。

第（1）题

  1. 求秩与最大无关组
    对矩阵施以初等行变换化为行最简形，得秩 $R(A)=3$，前3列为主元列，故最大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。

  2. 线性表示其他列
    观察行最简形矩阵的第4列，对应方程 $x_1\beta_1 + x_2\beta_2 + x_3\beta_3 + x_4\beta_4 = 0$，解得 $\alpha_4 = \alpha_1 + 3\alpha_2 - \alpha_3$。

第（2）题

  1. 求秩与最大无关组
    化为行阶梯形矩阵，得秩 $R(A)=3$，前3列为主元列，故最大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。

  2. 线性表示其他列
    进一步化为行最简形，分析第4、5列的系数：

    • $\alpha_4 = \alpha_1 + 3\alpha_2 - \alpha_3$
    • $\alpha_5 = -\alpha_2 + \alpha_3$