将长为a的铁丝切成两段,一段围成正方将长为a的铁丝切成两段,一段围成正方

考查要点：本题主要考查利用导数求解实际应用中的极值问题，涉及几何图形的周长与面积关系，以及函数最优化。

解题核心思路：

1. 设定变量：将圆形周长设为$x$，则正方形周长为$a - x$。
2. 建立面积函数：分别用$x$表示圆和正方形的面积，求和得到总面积函数$A(x)$。
3. 求导找极值：对$A(x)$求导，令导数为零，解出临界点$x$。
4. 验证最小值：通过二阶导数或区间端点分析，确认临界点是最小值点。

破题关键点：

• 正确表达面积与周长的关系：圆的半径由周长$x$确定，正方形边长由周长$a - x$确定。
• 函数求导的准确性：注意合并同类项和系数化简，避免计算错误。
• 二阶导数的符号判断：确保临界点为极小值点。

设定变量与建立面积函数

设圆形的周长为$x$，则正方形的周长为$a - x$。

• 圆的面积：半径$r = \dfrac{x}{2\pi}$，面积为$\pi r^2 = \pi \left( \dfrac{x}{2\pi} \right)^2 = \dfrac{x^2}{4\pi}$。
• 正方形的面积：边长为$\dfrac{a - x}{4}$，面积为$\left( \dfrac{a - x}{4} \right)^2 = \dfrac{(a - x)^2}{16}$。
  总面积函数为：
  $A(x) = \dfrac{(a - x)^2}{16} + \dfrac{x^2}{4\pi}$

求导并找临界点

展开并整理$A(x)$：
$A(x) = \dfrac{a^2 - 2ax + x^2}{16} + \dfrac{x^2}{4\pi} = \dfrac{a^2}{16} - \dfrac{ax}{8} + \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{x^2}{4\pi}$
合并$x^2$项：
$A(x) = \dfrac{a^2}{16} - \dfrac{ax}{8} + \dfrac{\pi + 4}{16\pi} x^2$
对$x$求导：
$A'(x) = -\dfrac{a}{8} + \dfrac{\pi + 4}{8\pi} x$
令$A'(x) = 0$，解得：
$x = \dfrac{\pi a}{4 + \pi}$

验证最小值

二阶导数为：
$A''(x) = \dfrac{\pi + 4}{8\pi} > 0$
因二阶导数恒正，故$x = \dfrac{\pi a}{4 + \pi}$对应最小值。