题目
曲线 ) (x)^2+(y)^2+4(z)^2-2x=3 x-y-1=0 .化成的参数方程为 ( ).A. ) (x)^2+(y)^2+4(z)^2-2x=3 x-y-1=0 .
曲线
化成的参数方程为 ( ).
A. 
B. 
C. 
D.
题目解答
答案
首先，我们有两个方程组成的方程组：
我们可以从第二个方程开始，解出y：
.
接下来，我们将这个表达式代入第一个方程中，以消去y：
.
展开并整理这个方程，我们得到：
,
,
.
现在，我们可以完成平方的完成，将方程转化为标准的圆方程形式：
.
为了将这个方程转化为参数方程，我们设：
这样，我们就得到了参数方程：
这里我们使用了
作为
的系数，是因为原方程中
的系数是1，而
的系数是2，所以我们需要一个系数来平衡这两个项，使得它们可以合并为一个标准的圆方程。
综上所述，我们得到的参数方程与选项D相匹配，因此本题的答案是D。
解析
步骤 1：将方程组中的第二个方程解出y
从方程组中的第二个方程 $y=x-1$，我们可以直接解出y的表达式。
步骤 2：将y的表达式代入第一个方程
将 $y=x-1$ 代入第一个方程 ${x}^{2}+{y}^{2}+4{z}^{2}-2x=3$，得到 ${x}^{2}+{(x-1)}^{2}+4{z}^{2}-2x=3$。
步骤 3：整理方程并完成平方
将方程 ${x}^{2}+{(x-1)}^{2}+4{z}^{2}-2x=3$ 展开并整理，得到 ${x}^{2}-2x+2{z}^{2}=1$。然后，完成平方得到 ${(x-1)}^{2}+2{z}^{2}=1$。
步骤 4：将方程转化为参数方程
将方程 ${(x-1)}^{2}+2{z}^{2}=1$ 转化为参数方程，设 $x-1=\sqrt {2}\cos \theta$ 和 $z=\sin \theta$，得到参数方程 $\left \{ \begin{matrix} x=1+\sqrt {2}\cos \theta \\ y=\sqrt {2}\cos \theta \\ z=\sin \theta \end{matrix} \right.$。
从方程组中的第二个方程 $y=x-1$，我们可以直接解出y的表达式。
步骤 2：将y的表达式代入第一个方程
将 $y=x-1$ 代入第一个方程 ${x}^{2}+{y}^{2}+4{z}^{2}-2x=3$，得到 ${x}^{2}+{(x-1)}^{2}+4{z}^{2}-2x=3$。
步骤 3：整理方程并完成平方
将方程 ${x}^{2}+{(x-1)}^{2}+4{z}^{2}-2x=3$ 展开并整理，得到 ${x}^{2}-2x+2{z}^{2}=1$。然后，完成平方得到 ${(x-1)}^{2}+2{z}^{2}=1$。
步骤 4：将方程转化为参数方程
将方程 ${(x-1)}^{2}+2{z}^{2}=1$ 转化为参数方程，设 $x-1=\sqrt {2}\cos \theta$ 和 $z=\sin \theta$，得到参数方程 $\left \{ \begin{matrix} x=1+\sqrt {2}\cos \theta \\ y=\sqrt {2}\cos \theta \\ z=\sin \theta \end{matrix} \right.$。