题目
14.若A是十阶非零矩阵且满足 ^2=0, 则A的Jordan 标准型中Jordan块的最大阶数-|||-为 ()-|||-(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解Jordan标准型
Jordan标准型是矩阵的一种特殊形式，其中矩阵被分解为若干个Jordan块的直接和。每个Jordan块对应于矩阵的一个特征值，并且具有特定的结构，即主对角线上是特征值，上一条对角线上是1，其余位置为0。
步骤 2：分析给定条件
题目中给出的条件是矩阵A满足${A}^{2}=0$。这意味着矩阵A是幂零矩阵，即存在某个正整数k，使得${A}^{k}=0$。对于幂零矩阵，其特征值全为0，因此Jordan标准型中的每个Jordan块的主对角线元素都是0。
步骤 3：确定Jordan块的最大阶数
由于${A}^{2}=0$，这意味着矩阵A的平方为零矩阵。对于Jordan块，如果其阶数大于2，则其平方不会为零矩阵。例如，一个3阶Jordan块的平方不会为零矩阵。因此，为了满足${A}^{2}=0$，矩阵A的Jordan标准型中Jordan块的最大阶数不能超过2。
Jordan标准型是矩阵的一种特殊形式，其中矩阵被分解为若干个Jordan块的直接和。每个Jordan块对应于矩阵的一个特征值，并且具有特定的结构，即主对角线上是特征值，上一条对角线上是1，其余位置为0。
步骤 2：分析给定条件
题目中给出的条件是矩阵A满足${A}^{2}=0$。这意味着矩阵A是幂零矩阵，即存在某个正整数k，使得${A}^{k}=0$。对于幂零矩阵，其特征值全为0，因此Jordan标准型中的每个Jordan块的主对角线元素都是0。
步骤 3：确定Jordan块的最大阶数
由于${A}^{2}=0$，这意味着矩阵A的平方为零矩阵。对于Jordan块，如果其阶数大于2，则其平方不会为零矩阵。例如，一个3阶Jordan块的平方不会为零矩阵。因此，为了满足${A}^{2}=0$，矩阵A的Jordan标准型中Jordan块的最大阶数不能超过2。