将下列矩阵化为行最简形矩阵：1 -1 5 -1-|||-3 -1 8 1-|||-1 3 -9 7-|||-__

行最简形矩阵的核心特征是：

1. 每行第一个非零元素为1（称为主元）；
2. 主元所在列的上下元素均为0；
3. 主元的列索引从上到下依次增大；
4. 全零行位于矩阵底部。

解题关键：

• 逐列处理，从左到右依次将主元化为1，并消去上下元素；
• 避免分数的技巧（如先消元再归一化）；
• 观察线性相关性，确定零行的位置。

步骤1：处理第一列

第一列主元已为1，用第一行消去下方元素：

• 第二行：$r_2 - 3r_1 \Rightarrow [0, 2, -7, 4]$
• 第三行：$r_3 - r_1 \Rightarrow [0, 4, -14, 8]$

矩阵变为：
$\begin{pmatrix}1 & -1 & 5 & -1 \\0 & 2 & -7 & 4 \\0 & 4 & -14 & 8\end{pmatrix}$

步骤2：处理第二列

• 第二行归一化：$r_2 \div 2 \Rightarrow [0, 1, -\frac{7}{2}, 2]$
• 消去第三行：$r_3 - 2r_2 \Rightarrow [0, 0, 0, 0]$
• 消去第一行：$r_1 + r_2 \Rightarrow [1, 0, \frac{3}{2}, 1]$

最终矩阵：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{3}{2} & 1 \\0 & 1 & -\frac{7}{2} & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$