题目

不含任何元素的集合称为空集,记为.关于空集的结论,下列说法中正确的是().

不含任何元素的集合称为空集,记为.关于空集的结论,下列说法中正确的是().

题目解答

答案

在集合论中，空集（记作 ）是一个不包含任何元素的集合。关于空集的性质，可以从以下几个方面进行详细分析：

1. 元素关系：

   空集不包含任何元素，因此没有任何元素属于空集。这意味着对于任何元素 ，。

2. 子集关系：

   根据集合论的定义，空集是任何集合的子集。这意味着对于任何集合 ，。特别地，空集也是它自己的子集，即。

3. 成员关系：

   空集作为集合，不能是自己的元素。集合的元素通常是另一个集合或对象，而空集作为一个整体，不可能是自己的一个元素。

根据以上分析，可以评估给定的选项：

：错误，空集不能是自己的元素，但集合与集合的关系应用用包含或者不包含表示，故错误。

：错误，因为空集不包含任何元素，包括它自己。故错误。

：正确，因为空集是任何集合（包括它自己）的子集。故正确。

：正确。因为空集是任何集合（包括它自己）的子集，重复了的说法。故正确。

故本题答案选：

解析

空集是不含任何元素的集合，记作∅。本题考查空集的两个核心性质：

  1. 元素关系：空集不含任何元素，因此∅ ∉ ∅（空集不是自己的元素）。
  2. 子集关系：空集是任何集合的子集，包括它自己（∅ ⊆ ∅），且空集是包含空集的集合{∅}的子集（∅ ⊆ {∅}）。

关键区分点：

  • ∈表示元素属于集合，⊆表示子集关系。空集与自身的关系需严格区分这两种符号。

选项分析

A. ∅ ∈ ∅

  • 错误。空集不含任何元素，因此∅不能属于它自己。

B. ϕ ∈ ϕ

  • 错误。与选项A同理，符号可能为排版问题，但本质仍是“空集属于自身”，不成立。

C. ∅ ⊆ {∅}

  • 正确。空集是任何集合的子集，{∅}包含空集作为元素，但空集的元素（无）必然属于{∅}。

D. ∅ ⊆ ∅

  • 正确。根据子集定义，任何集合都是自身的子集，空集也不例外。