题目

在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？(1) a_(23)a_(31)a_(42)a_(56)a_(14)a_(65);(2) a_(32)a_(43)a_(14)a_(51)a_(66)a_(25).

在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ (1) $a_{23}a_{31}a_{42}a_{56}a_{14}a_{65}$; (2) $a_{32}a_{43}a_{14}a_{51}a_{66}a_{25}$.

题目解答

答案

(1) 对于项 $a_{23}a_{31}a_{42}a_{56}a_{14}a_{65}$，行标排列为 $2, 3, 4, 5, 1, 6$，逆序数为 $4$；列标排列为 $3, 1, 2, 6, 4, 5$，逆序数为 $4$。总逆序数为 $8$，为偶数，故该项应带正号。 (2) 对于项 $a_{32}a_{43}a_{14}a_{51}a_{66}a_{25}$，行标排列为 $3, 4, 1, 5, 6, 2$，逆序数为 $6$；列标排列为 $2, 3, 4, 1, 6, 5$，逆序数为 $4$。总逆序数为 $10$，为偶数，故该项应带正号。 **答案：** (1) 正号 (2) 正号 \[ \boxed{ \begin{array}{cc} \text{(1) 正号} \\ \text{(2) 正号} \\ \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查行列式中项的符号判断，核心在于计算行标和列标的逆序数之和的奇偶性。

解题思路：

  1. 逆序数概念：排列中前数大于后数的对数之和。
  2. 符号规则：总逆序数为偶数时符号为正，奇数时为负。
  3. 步骤分解：
    • 分别提取行标和列标的排列。
    • 计算行标排列的逆序数。
    • 计算列标排列的逆序数。
    • 求和判断奇偶性。

第（1）题

行标排列：$2, 3, 4, 5, 1, 6$

  • 逆序数计算：
    • $2$ 后面有 $1$ → $1$ 个逆序。
    • $3$ 后面有 $1$ → $1$ 个逆序。
    • $4$ 后面有 $1$ → $1$ 个逆序。
    • $5$ 后面有 $1$ → $1$ 个逆序。
    • 总逆序数：$1 + 1 + 1 + 1 = 4$。

列标排列：$3, 1, 2, 6, 4, 5$

  • 逆序数计算：
    • $3$ 后面有 $1, 2$ → $2$ 个逆序。
    • $6$ 后面有 $4, 5$ → $2$ 个逆序。
    • 总逆序数：$2 + 2 = 4$。

总逆序数

  • $4 + 4 = 8$（偶数），符号为正。

第（2）题

行标排列：$3, 4, 1, 5, 6, 2$

  • 逆序数计算：
    • $3$ 后面有 $1, 2$ → $2$ 个逆序。
    • $4$ 后面有 $1, 2$ → $2$ 个逆序。
    • $5$ 后面有 $2$ → $1$ 个逆序。
    • $6$ 后面有 $2$ → $1$ 个逆序。
    • 总逆序数：$2 + 2 + 1 + 1 = 6$。

列标排列：$2, 3, 4, 1, 6, 5$

  • 逆序数计算：
    • $2$ 后面有 $1$ → $1$ 个逆序。
    • $3$ 后面有 $1$ → $1$ 个逆序。
    • $4$ 后面有 $1$ → $1$ 个逆序。
    • $6$ 后面有 $5$ → $1$ 个逆序。
    • 总逆序数：$1 + 1 + 1 + 1 = 4$。

总逆序数

  • $6 + 4 = 10$（偶数），符号为正。