已知 y1=e 3x -x(e)^2x, y1=e 3x -x(e)^2x, y1=e 3x -x(e)^2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件 y1=e 3x -x(e)^2x的解为y= ________ .

考查要点：本题主要考查二阶常系数非齐次线性微分方程的解的结构，以及利用初始条件确定特解的能力。

解题核心思路：

1. 确定齐次方程的解：通过已知的三个非齐次方程解，计算它们的差，得到齐次方程的两个线性无关解。
2. 构造通解：通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。
3. 代入初始条件：通过初始条件确定通解中的待定常数，得到满足条件的特解。

破题关键点：

• 差解法：利用非齐次方程解的差属于齐次方程解的性质，找到齐次方程的两个线性无关解。
• 特征方程：通过齐次方程的解形式（指数函数）反推特征方程，确定微分方程的形式。
• 特解构造：结合非齐次项的形式，确定特解的结构。

步骤1：确定齐次方程的解

计算非齐次方程解的差：

• $y_1 - y_2 = e^{3x} - e^x$
• $y_2 - y_3 = e^x$

由此可知，齐次方程的两个线性无关解为 $e^{3x}$ 和 $e^x$，对应的特征方程为 $(r-3)(r-1)=0$，即 $r^2 -4r +3=0$。

步骤2：构造通解

非齐次方程的通解为：
$y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{x} + \text{特解}$
观察已知解的结构，特解可取 $-x e^{2x}$（因非齐次项为 $x e^{2x}$，且特征根不含2）。

步骤3：代入初始条件

通解形式为：
$y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{x} - x e^{2x}$
代入初始条件：

1. $y(0)=0$：
   $C_1 + C_2 = 0$
2. $y'(0)=1$：
   求导得：
   $y' = 3C_1 e^{3x} + C_2 e^{x} - e^{2x} - 2x e^{2x}$
   代入$x=0$：
   $3C_1 + C_2 - 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad 3C_1 + C_2 = 2$

步骤4：解方程组

联立方程：
$\begin{cases}C_1 + C_2 = 0 \\3C_1 + C_2 = 2\end{cases}$
解得 $C_1 = 1$，$C_2 = -1$。