2.函数f(x)=(|x|sin(x-2))/(x(x-1)(x-2)^2)在下列哪个区间内有界 (A.)(-∞,0). (B.)(0,1). (C.)(1,2). (D.)(2,+∞).

为了确定函数 $ f(x) = \frac{|x| \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} $ 在哪个区间内有界，我们需要分析函数在每个给定区间内的行为，特别是关注函数在区间端点附近的性质。 ### 区间 (A) $(- \infty, 0)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 内， $ x < 0 $，所以 $ |x| = -x $。函数变为： \[ f(x) = \frac{-x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{-\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2} \] 当 $ x \to -\infty $ 时， $ \sin(x-2) $ 在 $[-1, 1]$ 内振荡，而分母 $ (x-1)(x-2)^2 $ 趋向于 $-\infty$，所以 $ f(x) $ 趋向于 $ 0 $。因此， $ f(x) $ 在 $ x \to -\infty $ 时有界。 当 $ x \to 0^- $ 时， $ \sin(x-2) $ 在 $[-1, 1]$ 内振荡，而分母 $ (x-1)(x-2)^2 $ 趋向于 $ -4 $，所以 $ f(x) $ 趋向于 $ 0 $。因此， $ f(x) $ 在 $ x \to 0^- $ 时有界。 由于 $ f(x) $ 在 $(- \infty, 0)$ 内的两个端点处都有界，所以 $ f(x) $ 在 $(- \infty, 0)$ 内有界。 ### 区间 (B) $(0, 1)$ 在区间 $(0, 1)$ 内， $ x > 0 $，所以 $ |x| = x $。函数变为： \[ f(x) = \frac{x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2} \] 当 $ x \to 0^+ $ 时， $ \sin(x-2) $ 在 $[-1, 1]$ 内振荡，而分母 $ (x-1)(x-2)^2 $ 趋向于 $ -4 $，所以 $ f(x) $ 趋向于 $ 0 $。因此， $ f(x) $ 在 $ x \to 0^+ $ 时有界。 当 $ x \to 1 $ 时， $ \sin(x-2) $ 在 $[-1, 1]$ 内振荡，而分母 $ (x-1)(x-2)^2 $ 趋向于 $ 0 $，所以 $ f(x) $ 趋向于 $ \infty $。因此， $ f(x) $ 在 $ x \to 1 $ 时无界。 由于 $ f(x) $ 在 $ x \to 1 $ 时无界，所以 $ f(x) $ 在 $(0, 1)$ 内无界。 ### 区间 (C) $(1, 2)$ 在区间 $(1, 2)$ 内， $ x > 0 $，所以 $ |x| = x $。函数变为： \[ f(x) = \frac{x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2} \] 当 $ x \to 1^+ $ 时， $ \sin(x-2) $ 在 $[-1, 1]$ 内振荡，而分母 $ (x-1)(x-2)^2 $ 趋向于 $ 0 $，所以 $ f(x) $ 趋向于 $ \infty $。因此， $ f(x) $ 在 $ x \to 1^+ $ 时无界。 当 $ x \to 2^- $ 时， $ \sin(x-2) $ 趋向于 $ 0 $，而分母 $ (x-1)(x-2)^2 $ 趋向于 $ 0 $。使用洛必达法则： \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{\cos(x-2)}{(x-1) \cdot 2(x-2) + (x-2)^2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{\cos(x-2)}{(x-1) \cdot 2(x-2) + (x-2)^2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{\cos(x-2)}{(x-2) \left( 2(x-1) + (x-2) \right)} \] \[ = \lim_{x \to 2^-} \frac{\cos(x-2)}{(x-2) \left( 3x - 4 \right)} \] \[ = \lim_{x \to 2^-} \frac{-\sin(x-2)}{3x - 4 + 3(x-2)} \] \[ = \lim_{x \to 2^-} \frac{-\sin(x-2)}{6x - 10} \] \[ = \frac{0}{2} = 0 \] 因此， $ f(x) $ 在 $ x \to 2^- $ 时有界。 由于 $ f(x) $ 在 $ x \to 1^+ $ 时无界，所以 $ f(x) $ 在 $(1, 2)$ 内无界。 ### 区间 (D) $(2, +\infty)$ 在区间 $(2, +\infty)$ 内， $ x > 0 $，所以 $ |x| = x $。函数变为： \[ f(x) = \frac{x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2} \] 当 $ x \to 2^+ $ 时， $ \sin(x-2) $ 趋向于 $ 0 $，而分母 $ (x-1)(x-2)^2 $ 趋向于 $ 0 $。使用洛必达法则： \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{\cos(x-2)}{(x-1) \cdot 2(x-2) + (x-2)^2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{\cos(x-2)}{(x-2) \left( 2(x-1) + (x-2) \right)} \] \[ = \lim_{x \to 2^+} \frac{\cos(x-2)}{(x-2) \left( 3x - 4 \right)} \] \[ = \lim_{x \to 2^+} \frac{-\sin(x-2)}{3x - 4 + 3(x-2)} \] \[ = \lim_{x \to 2^+} \frac{-\sin(x-2)}{6x - 10} \] \[ = \frac{0}{2} = 0 \] 因此， $ f(x) $ 在 $ x \to 2^+ $ 时有界。 当 $ x \to +\infty $ 时， $ \sin(x-2) $ 在 $[-1, 1]$ 内振荡，而分母 $ (x-1)(x-2)^2 $ 趋向于 $ +\infty $，所以 $ f(x) $ 趋向于 $ 0 $。因此， $ f(x) $ 在 $ x \to +\infty $ 时有界。 由于 $ f(x) $ 在 $(2, +\infty)$ 内的两个端点处都有界，所以 $ f(x) $ 在 $(2, +\infty)$ 内有界。 综上所述，函数 $ f(x) = \frac{|x| \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} $ 在区间 $(- \infty, 0)$ 内有界。 答案是 $\boxed{A}$。