1.计算下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 2)dfrac ({x)^2+5}(x-3) .-|||-(3) lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2-2x+1}({x)^2-1}-|||-(5) lim _(harrow 0)dfrac ({(x+h))^2-(x)^2}(h) :-|||-(7) lim _(xarrow infty )dfrac ({x)^2-1}(2{x)^2-x-1} ;-|||-(9) lim _(xarrow a)dfrac ({x)^2-6x+8}({x)^2-5x+4} =-|||-(11) lim _(narrow infty )(1+dfrac (1)(2)+dfrac (1)(4)+... +dfrac (1)({2)^n})-|||-1/2^n);(12)-|||-(13) lim _(narrow infty )dfrac ((n+1)(n+2)(n+3))(5{n)^2} ;-|||-(2) lim _(xarrow sqrt {3)}dfrac ({x)^2-3}({x)^2+1} ;-|||-(4) lim _(xarrow 0)dfrac (4{x)^3-2(x)^2+x}(3{x)^2+2x} =-|||-(6) lim _(xarrow infty )(2-dfrac (1)(x)+dfrac (1)({x)^2}) ;-|||-(8) lim _(xarrow infty )dfrac ({x)^2+x}({x)^4-3(x)^2+1} ;-|||-(10) lim _(xarrow infty )(1+dfrac (1)(x))(2-dfrac (1)({x)^2}) ;-|||-lim _(narrow infty )dfrac (1+2+3+... +(n-1))({1)^2} ;-|||-(14) lim _(xarrow 1)(dfrac (1)(1-x)-dfrac (3)(1-{x)^3}) -

极限计算思路及步骤

1. (1) $\ $\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {{x}^{2}+5}{x-3}$

• 思路：直接代入法（分母不为0）。
  计算：$x=2$时，分子$2^2+5=9$，分母$2-3=-1$，故极限为$\frac{9}{-1}=-9$。

1. (2) $\lim _{x\rightarrow \sqrt {3}}\dfrac {{x}^{2}-3}{{x}^{2}+1}$

思路：直接代入法（分母不为0）。
计算：$x=\sqrt{3}$时，分子$(\sqrt{√3})^2-3=0$，分母$(\sqrt{3})^2+1=4$，故极限为$\frac{0}{4}=0$。

(3) $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {{x}^{2}-2x+1}{{x}^{2}-1}$

思路：因式分解约分化简（0/0型）。
计算：分子$x^2-2x+1=(x-1)^2$，分母$x^2-1=(x-1)(x+1)$，约分得$\frac{x-1}{x+1}$，代入$x=1$得$\frac{0}{2}=0$。

(4) $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4{x}^{3}-2{x}^{2}+x}{3{x}^{2}+2x}$

思路：提取公因式约分化简（0/0型）。
**计算：分子$x≠0$时，分子$x(4x^2-2x+1)$，分母$x(3x+2)$，约分得$\frac{4x^2-2x+1}{3x+2}$，代入$x=0$得$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

(5) $\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {{(x+h)}^{2}-{x}^{2}}{h}$

思路：展开化简（导数定义型）。
**计算：分子$(x^2+2xh+h^2)-x^2=2xh+h^2$，约分得$2x+h$，$h→0时极限为$2x$。

(6) $\lim _{x\rightarrow \infty }(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})$

思路：无穷小量性质（$\frac{1}{x}→0$，\frac{1}{x^2}→0$）。
**计算：极限为$2-0+0=2$。

(7) $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}-1}{2{x}^{2}-x-1}$

思路：同除以最高次幂$x^2$（∞/∞型）。
**计算：分子分母同除$x²得$\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}$，x→∞时极限为$\frac{1}{2}$。

(8) $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}+x}{{x}^{4}-3{x}^{2}+1}$

思路：同除以最高次幂$x^4$（∞/∞型）。
**计算：分子分母同除x⁴得$\frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^4}}$，x→∞时极限为$0$。

(9) $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {{x}^{2}-6x+8}{{}^{2}-5x+4}$

思路：因式分解约分化简。
**计算：分子$(x-2)(x-4)$，分母$(x-1)(x-4)$，约分得$\frac{x-2}{x-1}$，代入$xx=a$得$\frac{a-2}{a-1}$（题目答案为$\frac{2}{3}$，推测$a=3$？原答案可能默认$a=3$）。

(10) $\lim _{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1x)(2-\frac{1}{x^2})$

思路：无穷小量性质（$\frac{1}{x}→0，\frac{1}{x^2}→0$）。
**计算：极限为$(1+0)(2-0)=2$。

(11) $\lim _{n\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^n})$

思路：等比数列求和公式（$q=\frac{1}{2}<1$）。
**计算：和$S_n=\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=2(1-\frac{1}{2^{n+1}})$，n→∞时极限为$2$。

(12) $\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{1+2+\cdots +(n-1)}{n^2}$

思路：等差数列求和公式化简。
**计算：分子$\frac{(n-1)n}{2}$，原式$=\frac{(n-1)n}{2n^2}=\frac{n-1}{2n}→\frac{1}{2}$（n→∞）。

(13) $\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^3}$

思路：展开分子同除以$n^3$。
**计算：分子≈n³+6n²（高阶无穷小忽略），原式≈$\frac{n^3}{5n^3}=\frac{1}{5}$。

(14) $\lim _{x\rightarrow 1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3})$

思路：立方差公式分解分母约分化简（0/0型）。
计算：$1-x^3=(1-x)(1+x+x+x²)$，通分得$\frac{(1+x+x²)-3}{(1-x)(1+x+x²)}=\frac{x²+x-2}{(1-x)(1+x+x²)}=-\frac{(x+2)(x-1)}{(1-x)(\cdots)}=-\frac{x+2}{1+x+x²}$，代入$x=1$得$-\frac{3}{3}=-1$。