5.吴梅在超市买了一盒水果糖，她给自己定了一个规矩，每次吃糖时拿出盒子中水果糖数量的一半然后再放回去一颗，如果重复拿了257次后盒子里只剩下2颗糖，请问这盒糖有多少颗?A. 356B. 178C. 16D. 2

考查要点：本题主要考查递推数列的逆推方法和不动点概念的应用。关键在于理解每次操作后的糖数变化规律，并通过逆向思维找到初始值。

解题核心思路：

1. 操作规则分析：每次操作后糖数变为 $\frac{S}{2} + 1$，需明确正向递推与逆向递推的关系。
2. 逆推法：从最终结果出发，反向推导每次操作前的糖数，发现逆推公式为 $S_{\text{前}} = 2(S_{\text{后}} - 1)$。
3. 不动点分析：若初始糖数为不动点（即操作后糖数不变），则无论操作多少次结果均不变。通过解方程 $\frac{S}{2} + 1 = S$ 可得不动点为 $S = 2$。

破题关键：

• 逆推过程中发现糖数始终为2，说明初始值即为不动点。

步骤1：建立操作模型

每次操作后糖数变化为：
$S_{\text{后}} = \frac{S_{\text{前}}}{2} + 1$
逆推公式为：
$S_{\text{前}} = 2(S_{\text{后}} - 1)$

步骤2：逆推计算

已知最终糖数为2，反推初始值：

• 第257次操作后：$S_{257} = 2$
• 第256次操作后：$S_{256} = 2 \times (2 - 1) = 2$
• 第255次操作后：$S_{255} = 2 \times (2 - 1) = 2$
• ……
• 无论反推多少次，糖数始终为2，说明初始值即为2。

步骤3：验证不动点

解方程 $\frac{S}{2} + 1 = S$，得 $S = 2$。
若初始糖数为2，每次操作后糖数保持不变，符合题意。