【题目】-|||-1 0 1)-|||-设A= 0 2 0 而 geqslant 2 为正整数,则 ^n-2(A)^n-1=-|||-1 0 1

考查要点：本题主要考查矩阵的幂运算性质及矩阵方程的化简技巧，需要学生掌握矩阵乘法的运算规则，并能够灵活运用矩阵的因式分解方法。

解题核心思路：

1. 观察矩阵结构：发现矩阵$A$与单位矩阵$E$的线性组合可能具有特殊性质（如零矩阵）。
2. 构造关键等式：通过计算$(A - 2E)A$，发现其结果为零矩阵，从而建立递推关系。
3. 归纳推广：利用递推关系将高次幂表达式降阶，最终得出结果为零矩阵。

破题关键点：

• 发现$(A - 2E)A = 0$，这是化简高次幂表达式的突破口。
• 因式分解：将$A^n - 2A^{n-1}$分解为$(A - 2E)A^{n-1}$，结合关键等式直接得出结果。

步骤1：验证关键等式
计算$(A - 2E)A$：
$A - 2E = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad (A - 2E)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$
结论：$(A - 2E)A = 0$。

步骤2：因式分解表达式
将原式分解：
$A^n - 2A^{n-1} = (A - 2E)A^{n-1}.$

步骤3：代入关键等式
由于$(A - 2E)A = 0$，对任意$n \geqslant 2$，有：
$(A - 2E)A^{n-1} = (A - 2E)A \cdot A^{n-2} = 0 \cdot A^{n-2} = 0.$

最终结论：
$A^n - 2A^{n-1} = 0.$