【题目】-|||-求 lim _(xarrow {0)^+}dfrac ({int )_(0)^xsqrt (x-t)(e)^tdt}(sqrt {{x)^3}}

本题主要考察利用洛必达法则和变限积分求导计算极限，具体思路如下：

步骤1：判断极限类型

当$x\rightarrow0^+$时，分子$\int_{0}^{x}\sqrt{x-t}e^t dt$：令$u=x-t$，则$t=x-u$，$dt=-du$，积分变为$\int_{00}^{x}\sqrt{u}e^{x-u}}du=e^x\int_{0}^{x}\sqrt{u}e^{-u}du$，当$x\rightarrow0^+$时，$\int_{0}^{0}\sqrt{u}e^{-u}du=0$，分子→0；分母$\sqrt{x^3}=x^{3/2}\rightarrow0$，故为$\frac{0}{0}$型极限，适用洛必达法则。

步骤2：对分子分母分别求导（洛必达法则）

• 分母求导：$(\sqrt{x^3})'=(x^{3/2})'=\frac{3}{2}x^{1/2}$
• 分子导（变限积分求导）：\(\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\sqrt{x-t} - 拆分$\sqrt{x-t}=\sqrt{x}\sqrt{1-\frac{t}{x}}$，则分子$=\sqrt{x}^{1/2}\int_{0}^{x}\sqrt{1-\frac{t}{x}}e^tdt$，求导得：
  $\frac{1}{2}x^{-1/2}\int_{0}^{x}\sqrt{1-\frac{t}{x}}e^tdt+{x}^{1/2}\left[\sqrt{1-\frac{x}{x}}e^x\cdot1-\sqrt{1-\frac{0}{x})e^0\cdot0\right]$
  化简后，$x\rightarrow0^+$时，$\(\frac{1}{2}x^{-1/2}\int...$)→0，仅剩${x}^{1/2}\}\}$，故分子导数~{x}^{1/2}\cdot\sqrt{x}e^x)（等价无穷小替换）。

步骤3：化简极限

$\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\text{分子导}}{\text{分母导}}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x^{1/2}\cdot\sqrt{x}e^x}{\frac{3}{2}x^{1/2}}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x e^x}{\frac{3}{2}x^{1/2}}=\frac{2}{3}\lim_{x\rightarrow0^+}x^{1/2}e^x=\frac{2}{3}$