题目

设 A=} a_(11) & a_(12) & ... & a_(1n) a_(21) & a_(22) & ... & a_(2n) vdots & vdots & ddots & vdots a_(n1) & a_(n2) & ... & a_(nn) 的代数余子式，现有命题：(1) 当 |A|neq 0 时，有 |A^|=|A|^n-1；(2) AA^|=|A|E；(3) A^A=|A|E；(4) 设 |A|neq 0，则 (A^)^-1=(1)/(|A|)A；(5) 设 A 是可逆矩阵，则 A^=|A|A^-1；(6) A^=(|A|E)/(A)；(7) 设 A 是可逆矩阵，则 A^-1=(1)/(|A|)A^*。以上 7 个命题中，正确的命题个数是（）。A. 7个B. 其他都不对C. 6个D. 5个

设 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$，记 $A^*=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}$，其中 $A_{ij}$ 是行列式 $|A|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，现有命题： (1) 当 $|A|\neq 0$ 时，有 $|A^*|=|A|^{n-1}$； (2) $AA^*|=|A|E$； (3) $A^*A=|A|E$； (4) 设 $|A|\neq 0$，则 $(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$； (5) 设 $A$ 是可逆矩阵，则 $A^*=\left|A\right|A^{-1}$； (6) $A^*=\frac{|A|E}{A}$； (7) 设 $A$ 是可逆矩阵，则 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$。以上 7 个命题中，正确的命题个数是（）。 A. 7个 B. 其他都不对 C. 6个 D. 5个

题目解答

答案

**答案：C** **解析：** 1. **命题(1)：** 当 $ |A| \neq 0 $ 时，$ |A^*| = |A|^{n-1} $。由性质 $ AA^* = |A|E $，取行列式得 $ |A||A^*| = |A|^n $，解得 $ |A^*| = |A|^{n-1} $，正确。 2. **命题(2)：** $ AA^* = |A|E $。伴随矩阵基本性质，正确。 3. **命题(3)：** $ A^*A = |A|E $。伴随矩阵基本性质，正确。 4. **命题(4)：** $ (A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}A $。由 $ AA^* = |A|E $，取逆得 $ (A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}A $，正确。 5. **命题(5)：** $ A^* = |A|A^{-1} $。由 $ AA^* = |A|E $，右乘 $ A^{-1} $ 得 $ A^* = |A|A^{-1} $，正确。 6. **命题(6)：** $ A^* = \frac{|A|E}{A} $。矩阵除法无定义，错误。 7. **命题(7)：** $ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* $。由 $ A^* = |A|A^{-1} $，解得 $ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* $，正确。 **结论：** 正确命题数为6个，答案为 $\boxed{C}$。

解析

本题主要考查伴随矩阵的性质以及矩阵运算的相关知识。解题的关键在于熟练掌握伴随矩阵与原矩阵之间的关系，如 $AA^* = A^*A = |A|E$ 等基本性质，并利用这些性质对每个命题进行逐一分析判断。

命题(1)

已知当 $|A|\neq 0$ 时，根据伴随矩阵的性质有 $AA^* = |A|E$。
对等式两边取行列式，根据行列式的性质：若 $M$ 和 $N$ 是同阶方阵，则 $|MN| = |M|\cdot|N|$，可得：
$|AA^*| = ||A|E|$
即 $|A|\cdot|A^*| = |A|^n$。
因为 $|A|\neq 0$，等式两边同时除以 $|A|$，得到 $|A^*| = |A|^{n - 1}$，所以命题(1)正确。

命题(2)

根据伴随矩阵的定义，对于任意 $n$ 阶方阵 $A$，都有 $AA^* = |A|E$，这是伴随矩阵的基本性质，所以命题(2)正确。

命题(3)

同样依据伴随矩阵的定义，对于任意 $n$ 阶方阵 $A$，有 $A^*A = |A|E$，这也是伴随矩阵的基本性质，所以命题(3)正确。

命题(4)

已知 $|A|\neq 0$，由 $AA^* = |A|E$，等式两边同时取逆矩阵。
因为 $|A|\neq 0$，所以 $|A|E$ 可逆，且 $(|A|E)^{-1}=\frac{1}{|A|}E$。
根据逆矩阵的性质：若 $MN = E$，则 $M^{-1}=N$，$N^{-1}=M$，可得：
$(AA^*)^{-1} = (|A|E)^{-1}$
即 $(A^*)^{-1}A^{-1} = \frac{1}{|A|}E$。
等式两边同时右乘 $A$，得到 $(A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}A$，所以命题(4)正确。

命题(5)

已知 $A$ 是可逆矩阵，即 $|A|\neq 0$，由 $AA^* = |A|E$，等式两边同时右乘 $A^{-1}$，可得：
$AA^*A^{-1} = |A|EA^{-1}$
因为 $EA^{-1}=A^{-1}$，所以 $A^* = |A|A^{-1}$，命题(5)正确。

命题(6)

在矩阵运算中，矩阵除法是没有定义的，不能直接用 $|A|E$ 除以 $A$ 得到 $A^*$，所以命题(6)错误。

命题(7)

已知 $A$ 是可逆矩阵，即 $|A|\neq 0$，由 $A^* = |A|A^{-1}$，等式两边同时除以 $|A|$，可得：
$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$，所以命题(7)正确。