6.设函数φ(x)连续，且满足varphi(x)=e^x+int_(0)^xtvarphi(t)dt-xint_(0)^xvarphi(t)dt,求φ(x).

为了求解函数 $\varphi(x)$，我们从给定的方程开始： \[ \varphi(x) = e^x + \int_0^x t \varphi(t) \, dt - x \int_0^x \varphi(t) \, dt. \] 首先，我们对等式两边关于 $x$ 求导。使用微分法则和积分的性质，我们得到： \[ \varphi'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x \right) + \frac{d}{dx} \left( \int_0^x t \varphi(t) \, dt \right) - \frac{d}{dx} \left( x \int_0^x \varphi(t) \, dt \right). \] 这可以简化为： \[ \varphi'(x) = e^x + x \varphi(x) - \left( \int_0^x \varphi(t) \, dt + x \varphi(x) \right). \] 注意到 $x \varphi(x)$ 项相互抵消，留下： \[ \varphi'(x) = e^x - \int_0^x \varphi(t) \, dt. \] 接下来，我们再次对等式两边关于 $x$ 求导： \[ \varphi''(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x \right) - \frac{d}{dx} \left( \int_0^x \varphi(t) \, dt \right). \] 这简化为： \[ \varphi''(x) = e^x - \varphi(x). \] 因此，我们得到了一个二阶微分方程： \[ \varphi''(x) + \varphi(x) = e^x. \] 为了解这个微分方程，我们首先找到齐次方程 $\varphi''(x) + \varphi(x) = 0$ 的通解。特征方程是： \[ r^2 + 1 = 0, \] 其根为 $r = \pm i$。因此，齐次方程的通解是： \[ \varphi_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x. \] 接下来，我们找到非齐次方程 $\varphi''(x) + \varphi(x) = e^x$ 的一个特解。我们尝试特解的形式 $\varphi_p(x) = Ae^x$。将 $\varphi_p(x) = Ae^x$ 代入微分方程，我们得到： \[ Ae^x + Ae^x = e^x, \] 简化为： \[ 2Ae^x = e^x. \] 解得 $A = \frac{1}{2}$。因此，一个特解是： \[ \varphi_p(x) = \frac{1}{2} e^x. \] 非齐次方程的通解是齐次解和特解的和： \[ \varphi(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \frac{1}{2} e^x. \] 为了确定常数 $C_1$ 和 $C_2$，我们使用初始条件。从原方程，我们有： \[ \varphi(0) = e^0 + \int_0^0 t \varphi(t) \, dt - 0 \int_0^0 \varphi(t) \, dt = 1. \] 将 $x = 0$ 代入通解，我们得到： \[ \varphi(0) = C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 + \frac{1}{2} e^0 = C_1 + \frac{1}{2} = 1. \] 解得 $C_1 = \frac{1}{2}$。接下来，我们使用 $\varphi(x)$ 的导数： \[ \varphi'(x) = -C_1 \sin x + C_2 \cos x + \frac{1}{2} e^x. \] 从原方程，我们有： \[ \varphi'(0) = e^0 - \int_0^0 \varphi(t) \, dt = 1. \] 将 $x = 0$ 代入导数，我们得到： \[ \varphi'(0) = -C_1 \sin 0 + C_2 \cos 0 + \frac{1}{2} e^0 = C_2 + \frac{1}{2} = 1. \] 解得 $C_2 = \frac{1}{2}$。因此，函数 $\varphi(x)$ 是： \[ \varphi(x) = \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} e^x = \frac{1}{2} (\cos x + \sin x + e^x). \] 最终答案是： \[ \boxed{\frac{1}{2} (e^x + \sin x + \cos x)}. \]